Задание 18 ЕГЭ по математике №00042523

Пункт а. Докажем, что диагонали этих трапеций равны.

Пусть трапеции $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ вписаны в окружность радиуса $R$, и их соответствующие стороны параллельны: $AB\parallel A_1B_1$, $BC\parallel B_1C_1$, $CD\parallel C_1D_1$, $AD\parallel A_1D_1$. Пусть $AD\parallel BC$ — основания первой трапеции (тогда и $A_1D_1\parallel B_1C_1$).

Опора — теорема синусов. Любая хорда окружности радиуса $R$ равна $2R$, умноженному на синус вписанного угла, который на неё опирается.

Шаг 1: диагонали одной трапеции равны. Диагональ $AC$ видна из вершины $B$ под углом $ABC$, диагональ $BD$ — из вершины $A$ под углом $BAD$. Поэтому $AC=2R\sin\angle ABC$, $BD=2R\sin\angle BAD$.

Углы $ABC$ и $BAD$ прилежат к боковой стороне $AB$ при параллельных основаниях, они односторонние: $\angle ABC+\angle BAD=180^\circ$. Синусы углов, дающих в сумме $180^\circ$, равны, значит, $AC=BD$. Так же $A_1C_1=B_1D_1$.

Шаг 2: диагонали разных трапеций равны. Стороны углов $BAD$ и $B_1A_1D_1$ попарно параллельны: $AB\parallel A_1B_1$, $AD\parallel A_1D_1$. Углы с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо дают в сумме $180^\circ$ — в обоих случаях их синусы равны.

Поэтому $BD=2R\sin\angle BAD=2R\sin\angle B_1A_1D_1=B_1D_1$.

Итог: $AC=BD=B_1D_1=A_1C_1$ — диагонали трапеций равны. Что и требовалось доказать.

Замечание: сами трапеции при этом могут быть неравными — у них одинаковые углы, но в одной окружности вписанные трапеции с одинаковыми углами бывают разных размеров. Поэтому доказывать нужно именно равенство хорд-диагоналей.

Проверка на частном случае: если обе трапеции — прямоугольники, их диагонали — диаметры окружности, и они действительно равны $2R$.

Пункт б. Найдём среднюю линию трапеции $A_1B_1C_1D_1$.

Сначала найдём диагональ трапеции $ABCD$. Вписанная трапеция равнобедренная: по пункту а её диагонали равны, а трапеция с равными диагоналями равнобедренная. Значит, $CD=AB=13$.

Опустим из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции высота отсекает от большего основания отрезок, равный полуразности оснований:

$$HD=\dfrac{AD-BC}{2}=\dfrac{14-4}{2}=5,\qquad AH=AD-HD=14-5=9.$$

Из прямоугольного треугольника $CHD$ по теореме Пифагора:

$$CH=\sqrt{CD^2-HD^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12.$$

Из прямоугольного треугольника $AHC$ находим диагональ:

$$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15.$$

По пункту а диагональ второй трапеции такая же: $A_1C_1=15$.

Теперь трапеция $A_1B_1C_1D_1$. Её основания — $A_1D_1$ и $B_1C_1$: они параллельны $AD$ и $BC$, а значит, и друг другу. Она тоже вписанная, то есть равнобедренная. Опустим высоту $C_1H_1$ на $A_1D_1$. Как и выше, $H_1D_1=\dfrac{A_1D_1-B_1C_1}{2}$, поэтому

$$A_1H_1=A_1D_1-\dfrac{A_1D_1-B_1C_1}{2}=\dfrac{A_1D_1+B_1C_1}{2},$$

то есть отрезок $A_1H_1$ равен средней линии трапеции. Его находим из прямоугольного треугольника $A_1H_1C_1$, где гипотенуза — диагональ $15$, а катет — высота $9$:

$$A_1H_1=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12.$$

Значит, средняя линия трапеции $A_1B_1C_1D_1$ равна $12$.

Проверим себя другим путём — через углы. Боковые стороны второй трапеции параллельны боковым сторонам первой, поэтому угол при основании у них общий: в первой трапеции проекция боковой стороны $AB$ на основание равна полуразности оснований $5$, а высота $12$, поэтому $\cos\angle A=\dfrac{5}{13}$, $\operatorname{tg}\angle A=\dfrac{12}{5}$. У второй трапеции при высоте $9$ проекция боковой стороны равна $9\cdot\dfrac{5}{12}=\dfrac{15}{4}$, так что разность оснований равна $\dfrac{15}{2}$. При средней линии $12$ основания равны $12+\dfrac{15}{4}=\dfrac{63}{4}$ и $12-\dfrac{15}{4}=\dfrac{33}{4}$, а диагональ — $\sqrt{12^2+9^2}=15$.

Осталось убедиться, что такая трапеция вписана в ту же окружность. Радиус окружности, описанной около треугольника $ACD$, найдём по теореме синусов: $R=\dfrac{AC}{2\sin\angle D}=\dfrac{15}{2\cdot\frac{12}{13}}=\dfrac{65}{8}$. Для второй трапеции угол при основании тот же, диагональ та же, поэтому и радиус тот же $\dfrac{65}{8}$ — всё сходится.