Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00042140

Призма прямая: боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Пусть $K'$ — середина $AB$, $H$ — середина $AC$.

Пункт а (доказательство).

Шаг 1. $KK'\parallel AA_1$, поэтому $KK'\perp(ABC)$, и $K'M$ — проекция наклонной $KM$ на основание.

Шаг 2. Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, поэтому медиана $BH$ является и высотой: $BH\perp AC$.

Шаг 3. $AM=\dfrac14AC=\dfrac12AH$, значит, $M$ — середина $AH$. В треугольнике $ABH$ отрезок $K'M$ соединяет середины сторон $AB$ и $AH$ — это средняя линия: $K'M\parallel BH$, а значит, $K'M\perp AC$.

Шаг 4. Проекция $K'M$ наклонной $KM$ перпендикулярна прямой $AC$ основания. По теореме о трёх перпендикулярах и сама наклонная $KM\perp AC$. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Шаг 1. Длина $KM$. $BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{64-36}=2\sqrt7$, средняя линия $K'M=\dfrac12BH=\sqrt7$, $KK'=AA_1=5$:

$$KM=\sqrt{KK'^2+K'M^2}=\sqrt{25+7}=\sqrt{32}=4\sqrt2.$$

Шаг 2. Точка $K$ лежит на ребре $A_1B_1$, то есть в плоскости $ABB_1$. Опустим из $M$ перпендикуляр $MN$ на прямую $AB$ в плоскости основания. Плоскость $ABB_1$ перпендикулярна основанию (содержит боковое ребро), а $MN$ перпендикулярен линии их пересечения $AB$, поэтому $MN\perp(ABB_1)$. Значит, $KN$ — проекция $KM$ на эту плоскость, и искомый угол — $\angle MKN$, причём $\sin\angle MKN=\dfrac{MN}{KM}$.

Шаг 3. $MN$ из прямоугольного треугольника $AMN$: $\sin A=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{2\sqrt7}{8}=\dfrac{\sqrt7}{4}$, $AM=\dfrac{12}{4}=3$:

$$MN=AM\cdot\sin A=3\cdot\dfrac{\sqrt7}{4}=\dfrac{3\sqrt7}{4}.$$

Шаг 4. Синус угла:

$$\sin\angle MKN=\dfrac{3\sqrt7/4}{4\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt7}{16\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt{14}}{32},\qquad \angle MKN=\arcsin\dfrac{3\sqrt{14}}{32}.$$

Проверим себя координатами: $A(0;0;0)$, $C(12;0;0)$, $B(6;2\sqrt7;0)$, $K(3;\sqrt7;5)$, $M(3;0;0)$. $\overrightarrow{KM}=(0;-\sqrt7;-5)$, нормаль плоскости $ABB_1$ — $\vec n(2\sqrt7;-6;0)$ (перпендикулярна $\overrightarrow{AB}=(6;2\sqrt7;0)$ и оси $Oz$). $\sin\varphi=\dfrac{|6\sqrt7|}{\sqrt{32}\cdot\sqrt{64}}=\dfrac{6\sqrt7}{32\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt{14}}{32}$. Совпало.