а) Пусть K — середина ребра A_1B_1. Докажем, что плоскость \alpha проходит именно через неё.

Верхнее основание A_1B_1C_1 — равносторонний треугольник, поэтому медиана C_1K одновременно является высотой: C_1K\perp A_1B_1. Призма прямая, значит, ребро AA_1 перпендикулярно плоскости верхнего основания, и в частности AA_1\perp C_1K. Итак, C_1K перпендикулярен двум пересекающимся прямым плоскости ABB_1A_1 — по признаку перпендикулярности C_1K\perp ABB_1A_1.

Теперь ключевой шаг. Плоскость \alpha перпендикулярна грани ABB_1A_1 и содержит точку C_1. По теореме о перпендикулярных плоскостях перпендикуляр, опущенный из точки одной плоскости на вторую, целиком лежит в первой. Перпендикуляр из C_1 на грань ABB_1A_1 — это как раз C_1K. Значит, C_1K лежит в \alpha, и точка K принадлежит \alpha. То есть \alpha пересекает ребро A_1B_1 ровно в его середине. Доказано.

б) Обозначим ребро призмы за a — все рёбра равны, так что и высота призмы равна a. Сечение — треугольник MKC_1: в грани ABB_1A_1 плоскость высекает отрезок MK, в верхнем основании — KC_1, в грани ACC_1A_1 — отрезок C_1M (обе его концевые точки лежат в этой грани). Ломаная замкнулась.

Так как C_1K перпендикулярен всей грани ABB_1A_1, он перпендикулярен и прямой MK: треугольник сечения прямоугольный с прямым углом при K.

Катет MK: из AM=2MA_1 получаем MA_1=\dfrac{a}{3}, а A_1K=\dfrac{a}{2}. В прямоугольном треугольнике MA_1K (угол при A_1 прямой, ведь AA_1\perp A_1B_1): MK=\sqrt{\dfrac{a^2}{9}+\dfrac{a^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{4a^2+9a^2}{36}}=\dfrac{a\sqrt{13}}{6}.

Катет C_1K — высота равностороннего треугольника: C_1K=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.

Площадь сечения: S=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt{13}}{6}\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a^2\sqrt{39}}{24}.

По условию \dfrac{a^2\sqrt{39}}{24}=\sqrt{39}, откуда a^2=24 и a=2\sqrt{6}.

Проверим: при a^2=24 площадь равна \dfrac{24\sqrt{39}}{24}=\sqrt{39} — ровно как в условии, всё сходится. Высота призмы равна 2\sqrt{6}.