ID: 00022259
Источник: ФИПИ
а) Пусть $K$ — середина ребра $A_1B_1$. Докажем, что плоскость $\alpha$ проходит именно через неё.
Верхнее основание $A_1B_1C_1$ — равносторонний треугольник, поэтому медиана $C_1K$ одновременно является высотой: $C_1K\perp A_1B_1$. Призма прямая, значит, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания, и в частности $AA_1\perp C_1K$. Итак, $C_1K$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым плоскости $ABB_1A_1$ — по признаку перпендикулярности $C_1K\perp ABB_1A_1$.
Теперь ключевой шаг. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна грани $ABB_1A_1$ и содержит точку $C_1$. По теореме о перпендикулярных плоскостях перпендикуляр, опущенный из точки одной плоскости на вторую, целиком лежит в первой. Перпендикуляр из $C_1$ на грань $ABB_1A_1$ — это как раз $C_1K$. Значит, $C_1K$ лежит в $\alpha$, и точка $K$ принадлежит $\alpha$. То есть $\alpha$ пересекает ребро $A_1B_1$ ровно в его середине. Доказано.
б) Обозначим ребро призмы за $a$ — все рёбра равны, так что и высота призмы равна $a$. Сечение — треугольник $MKC_1$: в грани $ABB_1A_1$ плоскость высекает отрезок $MK$, в верхнем основании — $KC_1$, в грани $ACC_1A_1$ — отрезок $C_1M$ (обе его концевые точки лежат в этой грани). Ломаная замкнулась.
Так как $C_1K$ перпендикулярен всей грани $ABB_1A_1$, он перпендикулярен и прямой $MK$: треугольник сечения прямоугольный с прямым углом при $K$.
Катет $MK$: из $AM=2MA_1$ получаем $MA_1=\dfrac{a}{3}$, а $A_1K=\dfrac{a}{2}$. В прямоугольном треугольнике $MA_1K$ (угол при $A_1$ прямой, ведь $AA_1\perp A_1B_1$): $MK=\sqrt{\dfrac{a^2}{9}+\dfrac{a^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{4a^2+9a^2}{36}}=\dfrac{a\sqrt{13}}{6}$.
Катет $C_1K$ — высота равностороннего треугольника: $C_1K=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Площадь сечения: $S=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt{13}}{6}\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a^2\sqrt{39}}{24}$.
По условию $\dfrac{a^2\sqrt{39}}{24}=\sqrt{39}$, откуда $a^2=24$ и $a=2\sqrt{6}$.
Проверим: при $a^2=24$ площадь равна $\dfrac{24\sqrt{39}}{24}=\sqrt{39}$ — ровно как в условии, всё сходится. Высота призмы равна $2\sqrt{6}$.