Тригонометрич… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00043445

Обозначим весь аргумент одной буквой: $t=\dfrac{\pi(8x+8)}{3}$. Тогда уравнение — простейшее: $\cos t=\dfrac12$.

Табличное значение: $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$. Косинус чётный, поэтому подходит и угол $-\dfrac{\pi}{3}$. С учётом периода $2\pi$: $t=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Возвращаемся к $x$:

$$\dfrac{\pi(8x+8)}{3}=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n.$$

Умножим обе части на $\dfrac{3}{\pi}$: $8x+8=\pm1+6n$. Отсюда две серии:

$$x=\dfrac{-7+6n}{8}\quad\text{или}\quad x=\dfrac{-9+6n}{8}.$$

Ищем наименьший положительный корень. Первая серия: при $n=1$ получаем $-\dfrac18$, при $n=2$ — $\dfrac{5}{8}=0{,}625$. Вторая серия: при $n=1$ получаем $-\dfrac38$, при $n=2$ — $\dfrac{3}{8}=0{,}375$. При меньших $n$ корни отрицательные, при больших — ещё больше.

Наименьший положительный корень — $0{,}375$.

Проверим: $8\cdot0{,}375+8=3+8=11$, аргумент $\dfrac{11\pi}{3}=4\pi-\dfrac{\pi}{3}$, а $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac12$. Верно.