Тригонометрич… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00041972

Обозначим аргумент тангенса $t=\dfrac{\pi(x+2)}{6}$. Уравнение $\operatorname{tg}t=\sqrt3$ табличное: $\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sin\frac{\pi}{3}}{\cos\frac{\pi}{3}}=\dfrac{\sqrt3}{2}:\dfrac12=\sqrt3$.

Тангенс повторяется с периодом $\pi$, поэтому все решения:

$$t=\dfrac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Возвращаемся к $x$:

$$\dfrac{\pi(x+2)}{6}=\dfrac{\pi}{3}+\pi n.$$

Умножим обе части на $\dfrac{6}{\pi}$: $x+2=2+6n$, откуда $x=6n$.

Корни: $\ldots,\,-12,\,-6,\,0,\,6,\,\ldots$ Ноль не отрицателен, а ближайший к нему корень слева получается при $n=-1$: $x=-6$. Это и есть наибольший отрицательный корень.

Проверка: $\dfrac{\pi(-6+2)}{6}=-\dfrac{2\pi}{3}$, и $\operatorname{tg}\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)=\operatorname{tg}\left(-\dfrac{2\pi}{3}+\pi\right)=\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3}=\sqrt3$ — верно.