Тригонометрич… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00041982

Табличное значение: $\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$. Синус положителен в верхней половине окружности, и на одном обороте значение $\dfrac{\sqrt2}{2}$ он принимает в двух точках: $\dfrac{\pi}{4}$ и $\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}$.

С учётом периода $2\pi$:

$$\dfrac{\pi x}{4}=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad\dfrac{\pi x}{4}=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Умножим обе части на $\dfrac{4}{\pi}$:

$$x=1+8n\quad\text{или}\quad x=3+8n.$$

Выпишем корни около нуля. Первая серия: $\ldots,\,-7,\,1,\,9,\,\ldots$ Вторая серия: $\ldots,\,-5,\,3,\,11,\,\ldots$

Отрицательные кандидаты, ближайшие к нулю: $-7$ и $-5$. Наибольший — $-5$.

Проверка: $\sin\left(-\dfrac{5\pi}{4}\right)=\sin\left(-\dfrac{5\pi}{4}+2\pi\right)=\sin\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ — верно.