Тригонометрич… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00041973

Тангенс — нечётная функция: $\operatorname{tg}(-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha$. Так как $\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3}=\sqrt3$, то $\operatorname{tg}\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\sqrt3$.

Период тангенса равен $\pi$, поэтому

$$\dfrac{\pi(x+2)}{3}=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Умножим обе части на $\dfrac{3}{\pi}$ — каждое слагаемое, включая $\pi n$:

$$x+2=-1+3n\;\Rightarrow\;x=-3+3n.$$

Корни: $\ldots,\,-6,\,-3,\,0,\,3,\,\ldots$ При $n=1$ получаем $0$ — он не отрицателен. При $n=0$ получаем $x=-3$ — наибольший отрицательный корень.

Проверка: $\dfrac{\pi(-3+2)}{3}=-\dfrac{\pi}{3}$, а $\operatorname{tg}\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\sqrt3$ — верно.