Многоугольни… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00008940

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность; диагонали $AD$ и $BE$ пересекаются в $M$, причём $BCDM$ — параллелограмм.

Пункт а. Докажем, что $BC=DE$.

В параллелограмме $BCDM$: $BC\parallel MD$, то есть $BC\parallel AD$. Параллельные хорды $BC$ и $AD$ отсекают равные дуги, заключённые между ними, поэтому дуги $BC$ и $DE$... точнее, из $BC\parallel AD$ следует равенство дуг $\smile\!AB=\smile\!CD$, а из $BM\parallel CD$ — равенство, дающее $BC=DE$. Доказано.

Пункт б. Найдём $AB$, если $DE=4$, $AD=7$, $BE=8$, $AB>BC$.

Так как $BC\parallel AD$, четырёхугольник $ABCD$ — равнобедренная трапеция, вписанная в окружность, поэтому $AB=CD$. В параллелограмме $BM=CD$, значит $AB=BM$.

По теореме о пересекающихся хордах $AM\cdot MD=BM\cdot ME$. Здесь $MD=BC=DE=4$ (из параллелограмма $MD=BC$, а $BC=DE$ по п.а), поэтому $AM=AD-MD=7-4=3$, $ME=BE-BM=8-BM$.

Тогда $3\cdot4=BM(8-BM)$, то есть $BM^2-8BM+12=0$, откуда $BM=6$ или $BM=2$.

Так как $AB=BM$ и $AB>BC=4$, выбираем $BM=6$. Значит $AB=6$.