ID: 00008940
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Диагонали AD и BE пересекаются в точке M. Известно, что BCDM — параллелограмм.
а) Докажите, что BC = DE.
б) Найдите длину стороны AB, если известно, что DE = 4, AD = 7, BE = 8 и AB > BC.
Источник: ФИПИ
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность; диагонали AD и BE пересекаются в M, причём BCDM — параллелограмм.
Пункт а. Докажем, что BC=DE.
В параллелограмме BCDM: BC\parallel MD, то есть BC\parallel AD. Параллельные хорды BC и AD отсекают равные дуги, заключённые между ними, поэтому дуги BC и DE... точнее, из BC\parallel AD следует равенство дуг \smile\!AB=\smile\!CD, а из BM\parallel CD — равенство, дающее BC=DE. Доказано.
Пункт б. Найдём AB, если DE=4, AD=7, BE=8, AB>BC.
Так как BC\parallel AD, четырёхугольник ABCD — равнобедренная трапеция, вписанная в окружность, поэтому AB=CD. В параллелограмме BM=CD, значит AB=BM.
По теореме о пересекающихся хордах AM\cdot MD=BM\cdot ME. Здесь MD=BC=DE=4 (из параллелограмма MD=BC, а BC=DE по п.а), поэтому AM=AD-MD=7-4=3, ME=BE-BM=8-BM.
Тогда 3\cdot4=BM(8-BM), то есть BM^2-8BM+12=0, откуда BM=6 или BM=2.
Так как AB=BM и AB>BC=4, выбираем BM=6. Значит AB=6.
6