Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042173

Величины $U$ и $L$ — положительные постоянные, частота $\omega\gt0$. Разделим числитель и знаменатель на $\omega$, внеся $\omega$ в знаменателе под корень как $\omega^2$:

$$U_L(\omega)=\dfrac{UL}{\sqrt{\dfrac{R^2}{\omega^2}+\left(L-\dfrac{1}{\omega^2C}\right)^2}}.$$

Числитель постоянный, поэтому амплитуда наибольшая там, где наименьшее подкоренное выражение. Сделаем замену $t=\dfrac{1}{\omega^2}$. Когда $\omega$ пробегает все положительные числа, $t$ тоже пробегает все положительные числа, причём каждому $t$ соответствует одна частота $\omega=\dfrac{1}{\sqrt t}$. Подкоренное выражение становится функцией

$$g(t)=R^2t+\left(L-\dfrac{t}{C}\right)^2=\dfrac{t^2}{C^2}+\left(R^2-\dfrac{2L}{C}\right)t+L^2.$$

Подставим числа: $\dfrac{1}{C^2}=10^{8}$, $R^2=100$, $\dfrac{2L}{C}=\dfrac{0{,}09}{10^{-4}}=900$. Получаем

$$g(t)=10^{8}\,t^2-800\,t+L^2.$$

Это квадратичная функция с положительным старшим коэффициентом, её график — парабола ветвями вверх. Наименьшее значение достигается в вершине:

$$t_0=\dfrac{800}{2\cdot10^{8}}=4\cdot10^{-6}.$$

Вершина лежит в области $t\gt0$, поэтому это наименьшее значение $g$ при всех $t\gt0$: левее вершины функция убывает, правее — возрастает.

Вернёмся к частоте: $\omega^2=\dfrac{1}{t_0}=\dfrac{10^{6}}{4}=250\,000$, откуда $\omega=500\ \text{с}^{-1}$ (берём положительный корень, так как частота положительна).

Значение $U=180$ В на ответ не повлияло: оно лишь умножает всю функцию на постоянное число.

Проверим себя числами — посчитаем амплитуду в найденной точке и при частотах на $10\%$ меньше и больше: $U_L(450)\approx357{,}6$ В, $U_L(500)\approx392{,}9$ В, $U_L(550)\approx372{,}4$ В. В найденной точке амплитуда наибольшая. Заметим также, что ответ не совпадает с резонансной частотой $\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\approx471{,}4\ \text{с}^{-1}$: на ней наибольшая сила тока, а не напряжение на катушке.