Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042177

Подставим силу тока из закона Ома в формулу мощности и получим мощность как функцию сопротивления нагрузки:

$$P(R)=I^2R=\dfrac{\mathcal E^2R}{(r+R)^2}=\dfrac{2500R}{(1+R)^2},\quad R\geqslant0.$$

Найдём производную по правилу дифференцирования частного. Производная знаменателя $(1+R)^2$ равна $2(1+R)$; в числителе вынесем общий множитель $(1+R)$:

$$P'(R)=2500\cdot\dfrac{(1+R)^2-R\cdot2(1+R)}{(1+R)^4}=2500\cdot\dfrac{(1+R)(1-R)}{(1+R)^4}=\dfrac{2500\,(1-R)}{(1+R)^3}.$$

При $R\geqslant0$ знаменатель $(1+R)^3$ положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком разности $1-R$: при $0\leqslant R\lt1$ производная положительна, при $R\gt1$ — отрицательна.

Значит, мощность возрастает на отрезке $[0;1]$ и убывает на луче $[1;+\infty)$, и наибольшее значение достигается при $R=1$ Ом:

$$P(1)=\dfrac{2500\cdot1}{(1+1)^2}=\dfrac{2500}{4}=625\ \text{Вт}.$$

Проверим себя другим способом — через дискриминант. Значение $P\gt0$ достижимо, если уравнение $P(1+R)^2=2500R$ имеет неотрицательный корень. Раскроем скобки: $PR^2+(2P-2500)R+P=0$. Это квадратное уравнение; его дискриминант $D=(2P-2500)^2-4P^2=2500^2-4\cdot2500P$. Условие $D\geqslant0$ даёт $P\leqslant\dfrac{2500}{4}=625$. При $P=625$ уравнение принимает вид $625R^2-1250R+625=0$, то есть $625(R-1)^2=0$, и корень $R=1$ положителен. Значит, наибольшая мощность равна $625$ Вт — результат совпал.