Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042176

Подставим силу тока из закона Ома в формулу мощности и получим мощность как функцию сопротивления нагрузки:

$$P(R)=I^2R=\dfrac{\mathcal E^2R}{(r+R)^2}=\dfrac{1600R}{(1+R)^2},\quad R\geqslant0.$$

Найдём производную по правилу дифференцирования частного. Производная знаменателя $(1+R)^2$ равна $2(1+R)$; в числителе вынесем общий множитель $(1+R)$:

$$P'(R)=1600\cdot\dfrac{(1+R)^2-R\cdot2(1+R)}{(1+R)^4}=1600\cdot\dfrac{(1+R)(1-R)}{(1+R)^4}=\dfrac{1600\,(1-R)}{(1+R)^3}.$$

При $R\geqslant0$ знаменатель $(1+R)^3$ положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком разности $1-R$: при $0\leqslant R\lt1$ производная положительна, при $R\gt1$ — отрицательна.

Значит, мощность возрастает на отрезке $[0;1]$ и убывает на луче $[1;+\infty)$, и наибольшее значение достигается при $R=1$ Ом:

$$P(1)=\dfrac{1600\cdot1}{(1+1)^2}=\dfrac{1600}{4}=400\ \text{Вт}.$$

Проверим себя другим способом — через ток. По закону Ома $IR=\mathcal E-Ir$, поэтому мощность на нагрузке $P=I^2R=I\cdot IR=(\mathcal E-Ir)\,I=40I-I^2$. Это квадратичная функция тока, её график — парабола ветвями вниз с вершиной в точке $I=\dfrac{40}{2}=20$ А. Наибольшее значение $P=40\cdot20-20^2=800-400=400$ Вт. Такой ток действительно получается: $\dfrac{40}{1+R}=20$ при $R=1$ Ом. Результат совпал.