Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042178

Множитель $4\pi\left(\dfrac{M}{2\pi RT}\right)^{\frac32}$ при заданных $M$ и $T$ — положительная постоянная, на положение наибольшего значения он не влияет. Обозначим $b=\dfrac{M}{2RT}\gt0$; тогда достаточно исследовать функцию

$$g(v)=v^2e^{-bv^2},\quad v\geqslant0.$$

Найдём производную по правилу произведения. Производная $v^2$ равна $2v$, а производная $e^{-bv^2}$ по правилу сложной функции равна $-2bv\,e^{-bv^2}$:

$$g'(v)=2v\,e^{-bv^2}-v^2\cdot2bv\,e^{-bv^2}=2v\,e^{-bv^2}\left(1-bv^2\right).$$

При $v\gt0$ множители $2v$ и $e^{-bv^2}$ положительны, поэтому знак производной совпадает со знаком скобки $1-bv^2$. Производная равна нулю при $v^2=\dfrac1b$, то есть при $v_0=\sqrt{\dfrac{2RT}{M}}$ (скорость неотрицательна, поэтому берём положительный корень). При $0\lt v\lt v_0$ производная положительна, при $v\gt v_0$ — отрицательна.

Значит, функция возрастает на $[0;v_0]$ и убывает на $[v_0;+\infty)$, и наибольшее значение достигается при $v=v_0$.

Подставим $M=0{,}002$ и $T=400$:

$$v_0=\sqrt{\dfrac{2R\cdot400}{0{,}002}}=\sqrt{400\,000R}=200\sqrt{10R}\ \text{м/с}.$$

Числовое значение $R$ в условии не дано, поэтому ответ записываем через $R$; при $R\approx8{,}31\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}$ это примерно $1824$ м/с.

Проверим себя другим способом. Скорость входит в функцию только через $v^2$, поэтому сделаем замену $x=v^2$ (при $v\geqslant0$ она взаимно однозначна). Функция $h(x)=x\,e^{-bx}$ имеет производную $h'(x)=e^{-bx}(1-bx)$, которая меняет знак с плюса на минус при $x=\dfrac1b=\dfrac{2RT}{M}=400\,000R$. Отсюда $v=\sqrt{400\,000R}=200\sqrt{10R}$ м/с — тот же ответ.