Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042180

Коэффициенты $k$ и $\theta_0$ положительны и постоянны, а $\tau\gt0$. Разделим числитель и знаменатель дроби на $\tau^2$ (в знаменателе внесём его под корень как $\tau^4$):

$$A(\tau)=\dfrac{k\theta_0}{\sqrt{\left(\dfrac{T^2}{\tau^2}-1\right)^2+n\cdot\dfrac{T^2}{\tau^2}}}.$$

Числитель постоянный, поэтому амплитуда наибольшая там, где наименьшее подкоренное выражение. Обозначим $y=\dfrac{T^2}{\tau^2}$. Когда $\tau$ пробегает все положительные числа, $y$ тоже пробегает все положительные числа, и каждому $y$ отвечает один период $\tau=\dfrac{T}{\sqrt y}$. Получаем функцию

$$g(y)=(y-1)^2+ny=y^2-(2-n)\,y+1,\quad y\gt0.$$

Заметим, что $n\gt0$: при $\tau=T$ (то есть $y=1$) подкоренное выражение равно $n$ и должно быть положительным.

График $g$ — парабола ветвями вверх с вершиной в точке $y_0=\dfrac{2-n}{2}$. Производная $g'(y)=2y-(2-n)$ отрицательна при $y\lt y_0$ и положительна при $y\gt y_0$.

Если $0\lt n\lt2$, то $y_0\gt0$: функция $g$ убывает на $(0;y_0]$ и возрастает на $[y_0;+\infty)$, поэтому наименьшее значение $g$, а значит, и наибольшая амплитуда достигаются при $y=y_0$. (Если бы $n\geqslant2$, то $g$ возрастала бы при всех $y\gt0$, амплитуда росла бы с увеличением периода волны и наибольшего значения не имела бы.)

Вернёмся к периоду:

$$\dfrac{T^2}{\tau^2}=\dfrac{2-n}{2}\ \Rightarrow\ \tau^2=\dfrac{2T^2}{2-n}\ \Rightarrow\ \tau=T\sqrt{\dfrac{2}{2-n}}=15\sqrt{\dfrac{2}{2-n}}\ \text{с}.$$

Проверим себя. Во-первых, при малых $n$ ответ близок к $T$: самая сильная раскачка наступает, когда период волны близок к собственному периоду судна, — это резонанс, как и должно быть. Во-вторых, проверим числами при $n=1$: вершина $y_0=0{,}5$, $g(0{,}5)=0{,}25+0{,}5=0{,}75$, а в соседних точках $g(0{,}4)=0{,}36+0{,}4=0{,}76$ и $g(0{,}6)=0{,}16+0{,}6=0{,}76$ — больше, значит, в вершине подкоренное выражение действительно наименьшее.