Угол между… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00014434

Пункт а. Плоскость $(CMK)$ проходит через вершину $C$ и точки $M\in AB$, $K\in AD$ ($AM=AK=6$). Она отсекает от тетраэдра многогранник, содержащий вершину $A$ — это тетраэдр $AMKC$.

Сравним объёмы тетраэдров $AMKC$ и $ABDC$ (последний — это весь тетраэдр $ABCD$). Возьмём их как пирамиды с общей вершиной $C$ и основаниями $AMK$ и $ABD$, лежащими в одной плоскости (грань $ABD$). Высота из $C$ к этой плоскости у обеих пирамид одна и та же, поэтому объёмы относятся как площади оснований:

$$\dfrac{V_{AMKC}}{V_{ABCD}}=\dfrac{S_{AMK}}{S_{ABD}}=\dfrac{AM\cdot AK}{AB\cdot AD}=\dfrac{6\cdot 6}{10\cdot 10}=\dfrac{9}{25}.$$

Значит отсечённая часть составляет $\dfrac{9}{25}$ объёма, а оставшаяся — $\dfrac{16}{25}$. Их отношение равно $16:9$, что и требовалось доказать.

Пункт б. Перейдём к координатам. Возьмём основание $ABC$ в плоскости $z=0$: $A(0;0;0)$, $B(10;0;0)$, $C\left(5;5\sqrt{3};0\right)$. Вершина $D$ стоит над центром треугольника $ABC$ на высоте правильного тетраэдра.

Центр основания $G\left(5;\dfrac{5\sqrt{3}}{3};0\right)$, высота тетраэдра $\sqrt{10^2-AG^2}=\dfrac{10\sqrt{6}}{3}$, поэтому $D\left(5;\dfrac{5\sqrt{3}}{3};\dfrac{10\sqrt{6}}{3}\right)$.

Так как $AM=AK=6$ (а рёбра равны $10$), точки делят рёбра в отношении $6:4$: $M\left(6;0;0\right)$ и $K\left(3;\sqrt{3};2\sqrt{6}\right)$.

Найдём нормаль к плоскости $(CMK)$ как векторное произведение $\vec{CM}\times\vec{CK}$, затем угол между прямой $AC$ и плоскостью — через синус (отношение модуля скалярного произведения $\vec{AC}$ и нормали к произведению длин). После вычислений синус угла равен $\sqrt{1-\dfrac{49}{67}}$, а косинус —

$$\cos\varphi=\dfrac{7}{\sqrt{67}}=\dfrac{7\sqrt{67}}{67}.$$

Косинус угла между прямой $AC$ и плоскостью $(CMK)$ равен $\dfrac{7\sqrt{67}}{67}$.

Типичная ошибка: в пункте а сравнивать объёмы «на глаз». Корректно — через отношение площадей оснований $\dfrac{S_{AMK}}{S_{ABD}}=\dfrac{AM\cdot AK}{AB\cdot AD}$ (общий угол $A$), потому что высота из $C$ общая.