Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00022257

а) Сечение здесь даже строить не нужно — все три его вершины уже даны: $A_1$, $B$ и $M$. Стороны $A_1B$, $BM$ и $MA_1$ лежат в трёх боковых гранях призмы ($ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$ и $ACC_1A_1$ соответственно), так что сечение — треугольник $A_1BM$.

Обозначим высоту призмы $h$; тогда $CM = MC_1 = \dfrac{h}{2}$. Боковые рёбра правильной призмы перпендикулярны основаниям — на этом всё и держится.

Сторона $BM$: в треугольнике $BCM$ угол при вершине $C$ прямой ($CM$ — кусок бокового ребра $CC_1$, а $CB$ лежит в основании). По Пифагору $BM^2 = BC^2 + CM^2 = 4 + \dfrac{h^2}{4}$.

Сторона $MA_1$: в треугольнике $MC_1A_1$ угол при вершине $C_1$ прямой (та же логика, только у верхнего основания). $MA_1^2 = A_1C_1^2 + C_1M^2 = 4 + \dfrac{h^2}{4}$.

Получили $BM = MA_1$ — треугольник $A_1BM$ равнобедренный. Доказано, причём при любой высоте призмы.

б) Основание равнобедренного треугольника — сторона $A_1B$. Из прямоугольного треугольника $A_1AB$: $A_1B^2 = AA_1^2 + AB^2 = h^2 + 4$.

Высота сечения — отрезок $MK$, где $K$ — середина $A_1B$: в равнобедренном треугольнике медиана к основанию совпадает с высотой. Из прямоугольного треугольника $BKM$: $MK^2 = BM^2 - BK^2 = 4 + \dfrac{h^2}{4} - \dfrac{h^2 + 4}{4} = 4 - 1 = 3$.

Красота: $MK = \sqrt{3}$ при любой высоте призмы! Тогда площадь $S = \dfrac{1}{2} \cdot A_1B \cdot MK = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{h^2 + 4} = 6$.

Отсюда $\sqrt{h^2 + 4} = \dfrac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$. Возводим в квадрат: $h^2 + 4 = 48$, значит, $h^2 = 44$ и $h = 2\sqrt{11}$.

Проверим: при $h = 2\sqrt{11}$ получаем $A_1B = \sqrt{44 + 4} = 4\sqrt{3}$ и $S = \dfrac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6$ — всё сходится.