а) Сечение здесь даже строить не нужно — все три его вершины уже даны: A_1, B и M. Стороны A_1B, BM и MA_1 лежат в трёх боковых гранях призмы (ABB_1A_1, BCC_1B_1 и ACC_1A_1 соответственно), так что сечение — треугольник A_1BM.

Обозначим высоту призмы h; тогда CM = MC_1 = \dfrac{h}{2}. Боковые рёбра правильной призмы перпендикулярны основаниям — на этом всё и держится.

Сторона BM: в треугольнике BCM угол при вершине C прямой (CM — кусок бокового ребра CC_1, а CB лежит в основании). По Пифагору BM^2 = BC^2 + CM^2 = 4 + \dfrac{h^2}{4}.

Сторона MA_1: в треугольнике MC_1A_1 угол при вершине C_1 прямой (та же логика, только у верхнего основания). MA_1^2 = A_1C_1^2 + C_1M^2 = 4 + \dfrac{h^2}{4}.

Получили BM = MA_1 — треугольник A_1BM равнобедренный. Доказано, причём при любой высоте призмы.

б) Основание равнобедренного треугольника — сторона A_1B. Из прямоугольного треугольника A_1AB: A_1B^2 = AA_1^2 + AB^2 = h^2 + 4.

Высота сечения — отрезок MK, где K — середина A_1B: в равнобедренном треугольнике медиана к основанию совпадает с высотой. Из прямоугольного треугольника BKM: MK^2 = BM^2 - BK^2 = 4 + \dfrac{h^2}{4} - \dfrac{h^2 + 4}{4} = 4 - 1 = 3.

Красота: MK = \sqrt{3} при любой высоте призмы! Тогда площадь S = \dfrac{1}{2} \cdot A_1B \cdot MK = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{h^2 + 4} = 6.

Отсюда \sqrt{h^2 + 4} = \dfrac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}. Возводим в квадрат: h^2 + 4 = 48, значит, h^2 = 44 и h = 2\sqrt{11}.

Проверим: при h = 2\sqrt{11} получаем A_1B = \sqrt{44 + 4} = 4\sqrt{3} и S = \dfrac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 — всё сходится.