ID: 00028714
Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_{0}=295\ \text{Гц}$. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) и изменяется по закону $f(v)=\dfrac{f_{0}}{1-\dfrac{v}{c}}$ (Гц), где $c$ — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c=300\ \text{м/с}$. Ответ дайте в $\text{м/с}$.
Источник: ФИПИ
Разность частот второго и первого гудка должна быть не меньше 5 Гц — нас интересует минимальная скорость, при которой разность как раз становится равна 5.
Запишем условие равенства через данную формулу:
$$\dfrac{f_{0}}{1-\dfrac{v}{c}}-f_{0}=5.$$
Вынесем $f_0$ за скобку:
$$f_{0}\left(\dfrac{1}{1-\frac{v}{c}}-1\right)=5.$$
Приведём выражение в скобке к общему знаменателю:
$$\dfrac{1}{1-\frac{v}{c}}-1=\dfrac{1-\left(1-\frac{v}{c}\right)}{1-\frac{v}{c}}=\dfrac{v/c}{1-v/c}.$$
Подставим числа $f_0=295$, $c=300$:
$$295\cdot\dfrac{v/300}{1-v/300}=5.$$
Умножим обе части на $(1-v/300)$ и на 300, чтобы избавиться от дробей:
$$295v=5\cdot300\left(1-\dfrac{v}{300}\right)=1500-5v.$$
Переносим слагаемые с $v$ в одну сторону:
$$300v=1500 \;\Rightarrow\; v=5.$$