Задание 6 ЕГЭ по математике: Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f индекс 0 равно…
№2. Задание 6
ID: 00028714
Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f_{0}=295\ \text{Гц}. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза v (в м/с) и изменяется по закону f(v)=\dfrac{f_{0}}{1-\dfrac{v}{c}} (Гц), где c — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c=300\ \text{м/с}. Ответ дайте в \text{м/с}.
Источник: ФИПИ
Решение
Разность частот второго и первого гудка должна быть не меньше 5 Гц — нас интересует минимальная скорость, при которой разность как раз становится равна 5.
Запишем условие равенства через данную формулу:
\dfrac{f_{0}}{1-\dfrac{v}{c}}-f_{0}=5.
Вынесем f_0 за скобку:
f_{0}\left(\dfrac{1}{1-\frac{v}{c}}-1\right)=5.
Приведём выражение в скобке к общему знаменателю:
\dfrac{1}{1-\frac{v}{c}}-1=\dfrac{1-\left(1-\frac{v}{c}\right)}{1-\frac{v}{c}}=\dfrac{v/c}{1-v/c}.
Подставим числа f_0=295, c=300:
295\cdot\dfrac{v/300}{1-v/300}=5.
Умножим обе части на (1-v/300) и на 300, чтобы избавиться от дробей:
295v=5\cdot300\left(1-\dfrac{v}{300}\right)=1500-5v.
Переносим слагаемые с v в одну сторону:
300v=1500 \;\Rightarrow\; v=5.
Ответ
5