Задание 15 ЕГЭ по математике №00013665

Пункт а (доказательство).

Так как отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра, его проекция на нижнее основание — отрезок $AC$ — проходит через центр основания, то есть $AC$ является диаметром нижней окружности.

Точка $B$ лежит на той же окружности, а $AC$ — её диаметр. Вписанный угол $ABC$, опирающийся на диаметр, прямой: $\angle ABC=90^\circ$, поэтому $BA\perp BC$.

Образующая $CC_1$ перпендикулярна плоскости основания, значит $CC_1\perp BA$ (прямая основания). Тогда $BA$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $CC_1$ плоскости $BCC_1$, поэтому $BA\perp BC_1$.

Следовательно, угол $ABC_1$ прямой, что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Высота цилиндра равна образующей $BB_1=15$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катеты $AB=20$ и $BC=B_1C_1=21$ (равны как хорды, стянутые образующими), гипотенуза — диаметр $AC=2R$.

По теореме Пифагора $AC=\sqrt{AB^2+B_1C_1^2}=\sqrt{20^2+21^2}=29$, поэтому радиус $R=\dfrac{AC}{2}=14.5$.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок}=2\pi R\cdot h=\pi\cdot AC\cdot h=\pi\cdot29\cdot15=435\pi$.