ID: 00013669
Различные точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности основания конуса с вершиной $S$ так, что отрезок $AB$ является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $60^\circ$.
а) Докажите, что $\cos\angle ASC + \cos\angle BSC = 1{,}5$.
б) Найдите объём тетраэдра $SABC$, если $SC = 1$, $\cos\angle ASC = \frac{2}{3}$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Так как $AB$ — диаметр основания, вписанный угол $ACB$, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому $AC^2+BC^2=AB^2$.
Все образующие конуса равны: $SA=SB=SC=L$. По теореме косинусов в треугольниках $ASC$ и $BSC$: $\cos\angle ASC=\dfrac{2L^2-AC^2}{2L^2}=1-\dfrac{AC^2}{2L^2}$, аналогично $\cos\angle BSC=1-\dfrac{BC^2}{2L^2}$.
Угол между образующей и плоскостью основания равен $60^\circ$, значит радиус $R=L\cos 60^\circ=\tfrac{L}{2}$ и $AB=2R=L$. Поэтому $AC^2+BC^2=AB^2=L^2$.
Складываем: $\cos\angle ASC+\cos\angle BSC=2-\dfrac{AC^2+BC^2}{2L^2}=2-\dfrac{L^2}{2L^2}=2-\tfrac12=1{,}5$. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Дано $SC=L=1$, поэтому $R=\tfrac12$, высота конуса $H=L\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$.
Из $\cos\angle ASC=\tfrac23=1-\dfrac{AC^2}{2}$ получаем $AC^2=\tfrac23$, а $BC^2=L^2-AC^2=1-\tfrac23=\tfrac13$.
Треугольник $ABC$ прямоугольный (угол при $C$), его площадь $S_{ABC}=\tfrac12\,AC\cdot BC=\tfrac12\sqrt{\tfrac23}\cdot\sqrt{\tfrac13}=\dfrac{\sqrt2}{6}$.
Высота тетраэдра $SABC$ — это высота конуса $H=\dfrac{\sqrt3}{2}$ (вершина $S$ над центром основания). Объём $V=\tfrac13 S_{ABC}\cdot H=\tfrac13\cdot\dfrac{\sqrt2}{6}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt6}{36}$.
$\dfrac{\sqrt{6}}{36}$