ID: 00013669
Различные точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок AB является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60^\circ.
а) Докажите, что \cos\angle ASC + \cos\angle BSC = 1{,}5.
б) Найдите объём тетраэдра SABC, если SC = 1, \cos\angle ASC = \frac{2}{3}.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Так как AB — диаметр основания, вписанный угол ACB, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому AC^2+BC^2=AB^2.
Все образующие конуса равны: SA=SB=SC=L. По теореме косинусов в треугольниках ASC и BSC: \cos\angle ASC=\dfrac{2L^2-AC^2}{2L^2}=1-\dfrac{AC^2}{2L^2}, аналогично \cos\angle BSC=1-\dfrac{BC^2}{2L^2}.
Угол между образующей и плоскостью основания равен 60^\circ, значит радиус R=L\cos 60^\circ=\tfrac{L}{2} и AB=2R=L. Поэтому AC^2+BC^2=AB^2=L^2.
Складываем: \cos\angle ASC+\cos\angle BSC=2-\dfrac{AC^2+BC^2}{2L^2}=2-\dfrac{L^2}{2L^2}=2-\tfrac12=1{,}5. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Дано SC=L=1, поэтому R=\tfrac12, высота конуса H=L\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}.
Из \cos\angle ASC=\tfrac23=1-\dfrac{AC^2}{2} получаем AC^2=\tfrac23, а BC^2=L^2-AC^2=1-\tfrac23=\tfrac13.
Треугольник ABC прямоугольный (угол при C), его площадь S_{ABC}=\tfrac12\,AC\cdot BC=\tfrac12\sqrt{\tfrac23}\cdot\sqrt{\tfrac13}=\dfrac{\sqrt2}{6}.
Высота тетраэдра SABC — это высота конуса H=\dfrac{\sqrt3}{2} (вершина S над центром основания). Объём V=\tfrac13 S_{ABC}\cdot H=\tfrac13\cdot\dfrac{\sqrt2}{6}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt6}{36}.
Ответ: \dfrac{\sqrt6}{36}.
\dfrac{\sqrt{6}}{36}