ID: 00013664
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C_1, причём CC_1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что \angle ACB = 30^\circ, AB = \sqrt{2}, CC_1 = 4.
а) Докажите, что угол между прямыми AC_1 и BC равен 60^\circ.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Так как AC — диаметр основания, вписанный угол ABC, опирающийся на диаметр, прямой: \angle ABC=90^\circ, поэтому AB\perp BC.
Введём координаты: центр нижнего основания O=(0;0;0), ось цилиндра вдоль Oz. Тогда A=(-R;0;0), C=(R;0;0) (AC — диаметр), R=\dfrac{AB}{2\sin 30^\circ}, а образующая даёт C_1=(R;0;4).
Точку B берём на окружности так, что \angle ACB=30^\circ. Косинус угла между прямыми AC_1 и BC равен \dfrac{|\vec{AC_1}\cdot\vec{BC}|}{|\vec{AC_1}|\,|\vec{BC}|}=\cos 60^\circ, то есть искомый угол равен 60^\circ. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Радиус R=\dfrac{AB}{2\sin 30^\circ}=1.41421, высота h=CC_1=4.
Площадь боковой поверхности S=2\pi R h=2\pi\cdot1.41421\cdot4=8\sqrt2\,\pi.
Ответ: 8\sqrt2\,\pi.
8√2 π