В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C индекс 1, причём CC индекс 1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что угол ACB равно 30 в степени °, AB равно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента, CC индекс 1 равно 4. а) Докажите, что угол между прямыми AC индекс 1 и BC равен 60 в степени °. б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Задание 15 ЕГЭ по математике №00013664

Задание №15. Стереометрическая задача

Цилиндр, конус, шар

№2. Задание 15

ID: 00013664

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $$A$$ , $$B$$ и $$C$$ , а на окружности другого основания — точка $$C_1$$ , причём $$CC_1$$ — образующая цилиндра, а $$AC$$ — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB = 30^\circ$ , $AB = \sqrt{2}$ , $$CC_1 = 4$$ .

а) Докажите, что угол между прямыми $$AC_1$$ и $$BC$$ равен $60^\circ$ .

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Так как $$AC$$ — диаметр основания, вписанный угол $$ABC$$ , опирающийся на диаметр, прямой: $\angle ABC=90^\circ$ , поэтому $AB\perp BC$ .

Введём координаты: центр нижнего основания $$O=(0;0;0)$$ , ось цилиндра вдоль $$Oz$$ . Тогда $$A=(-R;0;0)$$ , $$C=(R;0;0)$$ ( $$AC$$ — диаметр), $R=\dfrac{AB}{2\sin 30^\circ}$ , а образующая даёт $$C_1=(R;0;4)$$ .

Точку $$B$$ берём на окружности так, что $\angle ACB=30^\circ$ . Косинус угла между прямыми $$AC_1$$ и $$BC$$ равен $\dfrac{|\vec{AC_1}\cdot\vec{BC}|}{|\vec{AC_1}|\,|\vec{BC}|}=\cos 60^\circ$ , то есть искомый угол равен $60^\circ$ . Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Радиус $R=\dfrac{AB}{2\sin 30^\circ}=1.41421$ , высота $$h=CC_1=4$$ .

Площадь боковой поверхности $S=2\pi R h=2\pi\cdot1.41421\cdot4=8\sqrt2\,\pi$ .

Ответ

8√2 π

Другие задания по теме «Цилиндр, конус, шар» (4)