ID: 00013662
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а $AC$ — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB = 30^\circ$, $AB = \sqrt{2}$, $CC_1 = 2$.
а) Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $45^\circ$.
б) Найдите объём цилиндра.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Так как $AC$ — диаметр основания, вписанный угол $ABC$, опирающийся на диаметр, прямой: $\angle ABC=90^\circ$, поэтому $AB\perp BC$.
Введём координаты: центр нижнего основания $O=(0;0;0)$, ось цилиндра вдоль $Oz$. Тогда $A=(-R;0;0)$, $C=(R;0;0)$ ($AC$ — диаметр), $R=\dfrac{AB}{2\sin 30^\circ}$, а образующая даёт $C_1=(R;0;2)$.
Точку $B$ берём на окружности так, что $\angle ACB=30^\circ$. Косинус угла между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $\dfrac{|\vec{AC_1}\cdot\vec{BC}|}{|\vec{AC_1}|\,|\vec{BC}|}=\cos 45^\circ$, то есть искомый угол равен $45^\circ$. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Радиус $R=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{AB}{2\sin 30^\circ}=1.41421$, высота $h=CC_1=2$.
Объём $V=\pi R^2 h=\pi\cdot1.41421^2\cdot2=4\pi$.
4π