ID: 00013666
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
б) Найдите объём цилиндра, если $AB = 7$, $BB_1 = 24$, $B_1C_1 = 10$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Так как отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра, его проекция на нижнее основание — отрезок $AC$ — проходит через центр основания, то есть $AC$ является диаметром нижней окружности.
Точка $B$ лежит на той же окружности, а $AC$ — её диаметр. Вписанный угол $ABC$, опирающийся на диаметр, прямой: $\angle ABC=90^\circ$, поэтому $BA\perp BC$.
Образующая $CC_1$ перпендикулярна плоскости основания, значит $CC_1\perp BA$ (прямая основания). Тогда $BA$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $CC_1$ плоскости $BCC_1$, поэтому $BA\perp BC_1$.
Следовательно, угол $ABC_1$ прямой, что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Высота цилиндра — образующая $h=BB_1=24$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катеты $AB=7$, $BC=B_1C_1=10$, гипотенуза $AC=2R$.
$AC=\sqrt{AB^2+B_1C_1^2}=\sqrt{7^2+10^2}=\sqrt{149}$, поэтому $R^2=\dfrac{AC^2}{4}=\dfrac{149}{4}$.
Объём $V=\pi R^2 h=\pi\cdot\dfrac{149}{4}\cdot24=894\pi$.
894π