ID: 00013666
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B_1 и C_1, причём BB_1 — образующая цилиндра, а AC_1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол ABC_1 прямой.
б) Найдите объём цилиндра, если AB = 7, BB_1 = 24, B_1C_1 = 10.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Так как отрезок AC_1 пересекает ось цилиндра, его проекция на нижнее основание — отрезок AC — проходит через центр основания, то есть AC является диаметром нижней окружности.
Точка B лежит на той же окружности, а AC — её диаметр. Вписанный угол ABC, опирающийся на диаметр, прямой: \angle ABC=90^\circ, поэтому BA\perp BC.
Образующая CC_1 перпендикулярна плоскости основания, значит CC_1\perp BA (прямая основания). Тогда BA перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC и CC_1 плоскости BCC_1, поэтому BA\perp BC_1.
Следовательно, угол ABC_1 прямой, что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Высота цилиндра — образующая h=BB_1=24. В прямоугольном треугольнике ABC катеты AB=7, BC=B_1C_1=10, гипотенуза AC=2R.
AC=\sqrt{AB^2+B_1C_1^2}=\sqrt{7^2+10^2}=\sqrt{149}, поэтому R^2=\dfrac{AC^2}{4}=\dfrac{149}{4}.
Объём V=\pi R^2 h=\pi\cdot\dfrac{149}{4}\cdot24=894\pi.
Ответ: 894\pi.
894π