Global EE

Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00013646

Задание №15. Стереометрическая задача

Угол между прямой и плоскостью

№2. Задание 15

ID: 00013646

В основании прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ равнобедренный ($AB=BC$) треугольник. $K$ — середина $A_1B_1$, $M$ делит $AC$ как $1:3$.

а) Докажите $KM\perp AC$.

б) Найдите угол между $KM$ и плоскостью $ABB_1$, если $AB=6,AC=8,AA_1=3$.

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

$K$ — середина $A_1B_1$, $M$ на $AC$ ($AM:MC=1:3$). В равнобедренном основании ($AB=BC$) и прямой призме скалярное произведение $\vec{KM}\cdot\vec{AC}=0$ (по координатам), значит $KM\perp AC$. Что и требовалось.

Пункт б (вычисление).

Угол между $KM$ и плоскостью $ABB_1$ находим как $\arcsin\dfrac{|\vec{KM}\cdot\vec n|}{|\vec{KM}||\vec n|}$; при $AB=6,AC=8,AA_1=3$ он равен $\arcsin\dfrac{\sqrt{70}}{21}$.

Ответ

$\arcsin \frac{\sqrt{70}}{21}$

Видеоразбор

Другие задания по теме «Угол между прямой и плоскостью» (8)