Последовательности в ОГЭ по математике: теория, задачи и разбор

Последовательности на ОГЭ по математике — это занумерованные ряды чисел: у каждого члена есть номер n и значение aₙ. Правило ряда бывает задано формулой, связью с предыдущим членом или словами, а в экзамене последовательности проверяет задание 14 первой части, 1 балл.

Суть простыми словами

Последовательность — это функция от номера: первому месту соответствует a₁, второму a₂ и так далее. Задать её можно тремя способами.

• Формулой n-го члена. aₙ = n² − 1 даёт 0, 3, 8, 15, 24… Любой член считается сразу: a₉ = 81 − 1 = 80.
• Рекуррентно, через предыдущий член. a₁ = 2, aₙ₊₁ = 3aₙ − 1 даёт 2, 5, 14, 41… Здесь, чтобы найти пятый член, придётся пройти все предыдущие.
• Словами. «Последовательность простых чисел» — 2, 3, 5, 7, 11…

Типичный вопрос «входит ли число в последовательность» решается уравнением. Входит ли 80 в aₙ = n² − 1? n² = 81, n = 9 — да, это девятый член. А 50? n² = 51, целого n нет — не входит.

Второй типичный вопрос — сколько членов удовлетворяют условию. Сколько положительных членов у aₙ = 50 − 3n? 50 − 3n > 0, n < 16⅔, значит 16 членов: a₁₆ = 2, а a₁₇ = −1.

Арифметическая и геометрическая прогрессии — частные случаи: у первой постоянна разность соседних членов, у второй — отношение. aₙ = 4n + 1 — арифметическая (5, 9, 13…, d = 4), bₙ = 5 · 2ⁿ — геометрическая (10, 20, 40…, q = 2), а n² − 1 — ни та ни другая: разности 3, 5, 7 растут.

Где встречается на экзамене

• Задание 14 ОГЭ — по спецификации 2027 проверяет умение «использовать свойства последовательностей, формулы суммы и общего члена», чаще всего в жизненном сюжете. Первая часть, базовый уровень, 1 балл.

Где ошибаются

1. Путают номер и значение. «Найдите a₆» — это шестой член, а не число 6 в ряду. И наоборот, «каким по счёту стоит число 80» — ответ 9, а не 80.
2. Перескакивают через шаги рекуррентной формулы. В aₙ₊₁ = 3aₙ − 1 нельзя сразу умножить первый член на 3⁴: члены 2, 5, 14, 41, 122 считают по одному.
3. Округляют номер не в ту сторону. Из n < 16⅔ следует n ≤ 16: номер — целое число, и семнадцатый член уже отрицательный.
4. Неверно считают количество членов между двумя номерами. С пятого по двенадцатый включительно 12 − 5 + 1 = 8 членов, а не 7.
5. Видят прогрессию там, где её нет. Прежде чем брать формулу прогрессии, проверь, что разность (или отношение) соседних членов действительно постоянна.

Шпаргалка за 30 секунд

Формулы n-го члена и суммы прогрессий, задача из демоверсии 2027 и сложные проценты разобраны в теме прогрессии ОГЭ. Сюжетные задачи с ответами — на странице задания 14. Если ряд чисел из условия не складывается в правило, поможем найти его на пробном занятии.