Это задание на лексику: нужно найти нейтральный синоним к разговорному слову.

«Разговорное слово» — слово, уместное в неформальной речи (дома, с друзьями), но не подходящее для официальных текстов и учебников. Именно таким является «угомонились».

«Синоним» — это слово с тем же или близким значением.

«Угомонились» значит «стали спокойнее, перестали шуметь или баловаться». Нейтральные синонимы, подходящие для любого стиля: «успокоились», «утихли», «притихли».

Проверяем подстановкой: «Постепенно мы успокоились, и Анна Николаевна снова стала объяснять» — смысл сохранён, стиль стал нейтральным.