В словосочетании «смотрели восторженно» главное слово — «смотрели», а зависимое — наречие «восторженно»; это слово неизменяемо и связано с главным только по смыслу, — поэтому это связь примыкание.

Чтобы получить управление, главное слово «смотрели» оставляем без изменения, а зависимое слово «восторженно» заменяем однокоренным существительным и ставим его в нужный падеж (при необходимости с предлогом).

При управлении главное слово требует от зависимого существительного определённого падежа («с восторгом»), и при изменении главного слова этот падеж не меняется.

Получаем синонимичное словосочетание «смотрели с восторгом» со связью управление.