В словосочетании «жить без забот» главное слово — «жить», а зависимое — существительное «без забот» в косвенном падеже: главное слово управляет им и требует строго определённого падежа, — поэтому это связь управление.

Чтобы получить примыкание, главное слово «жить» оставляем без изменения, а зависимое слово «без забот» заменяем неизменяемым словом — это наречие «беззаботно».

При примыкании зависимое слово не изменяется и связано с главным только по смыслу.

Получаем синонимичное словосочетание «жить беззаботно» со связью примыкание.