ID: 00006400
Сосновый брусок в форме прямоугольного параллелепипеда, имеющего размеры $a$ = 30 см, $b$ = 20 см, $c$ = 10 см, начинают осторожно опускать в ванну с водой (как показано на рисунке). Чему будет равна глубина погружения бруска в воду при плавании? Ответ дайте в см. (Плотность сосны $ρ$ = 400 кг/м³)
Источник: ФИПИ
$a = 0{,}30 \text{ м}, \quad b = 0{,}20 \text{ м}, \quad c = 0{,}10 \text{ м}, \quad \rho_{\text{с}} = 400 \text{ кг/м}^3, \quad \rho_{\text{в}} = 1000 \text{ кг/м}^3$
$h_{\text{погр}}$ — ?
Тело плавает — значит, находится в равновесии. По второму закону Ньютона (проекция на вертикальную ось):
$$F_{\text{А}} - mg = 0 \implies F_{\text{А}} = mg$$
Выразим массу бруска через плотность и объём:
$$m = \rho_{\text{с}} \cdot V = \rho_{\text{с}} \cdot abc$$
Сила Архимеда зависит от объёма погружённой части. Брусок погружён на глубину $h_{\text{погр}}$ (меньше $c$), площадь основания $ab$:
$$F_{\text{А}} = \rho_{\text{в}} \cdot g \cdot ab \cdot h_{\text{погр}}$$
Приравниваем:
$$\rho_{\text{в}} \cdot g \cdot ab \cdot h_{\text{погр}} = \rho_{\text{с}} \cdot g \cdot abc$$
Сокращаем $g$ и $ab$:
$$h_{\text{погр}} = \frac{\rho_{\text{с}} \cdot c}{\rho_{\text{в}}} = \frac{400 \cdot 0{,}10}{1000} = 0{,}04 \text{ м} = 4 \text{ см}$$