ID: 00004171
По реке плывет лодка с гребцом, а рядом с ней — плот. Одинаковое ли время потребуется гребцу для того, чтобы перегнать плот на 10 м, и для того, чтобы на столько же отстать от него?
Источник: ФИПИ
По реке плывут рядом лодка с гребцом и плот. Требуемое смещение лодки относительно плота в обоих случаях одно и то же: $s = 10\ \text{м}$ — сначала вперёд (перегнать), затем назад (отстать). Обозначим скорость течения $u$, а собственную скорость лодки относительно воды $v$. Нужно сравнить время $t_1$ (обогнать плот на $10\ \text{м}$) и время $t_2$ (отстать от плота на $10\ \text{м}$).
Плот не имеет собственного двигателя и свободно несётся водой, поэтому скорость плота равна скорости течения: $v_{\text{плот}} = u$. Течение считаем равномерным и прямолинейным (скорость $u$ одинакова на всём рассматриваемом участке и не меняется со временем) — участок реки короткий, $10\ \text{м}$ вперёд и $10\ \text{м}$ назад.
Гребец гребёт одинаково в обоих случаях, поэтому модуль собственной скорости лодки относительно воды один и тот же: $v$ и при движении по течению, и против течения. Сопротивление воды учитывается уже тем, что $v$ — установившаяся скорость лодки относительно воды; разгоном и торможением лодки (переходными участками) пренебрегаем, движения считаем равномерными.
Скорости складываем по классическому закону сложения скоростей: скорость лодки относительно берега равна векторной сумме её скорости относительно воды и скорости воды относительно берега. Система отсчёта, связанная с плотом, движется относительно берега равномерно и прямолинейно (вместе с водой), значит она инерциальна, и в ней законы механики те же — переход в неё законен и удобен.
Способ 1 — в системе отсчёта плота. Плот движется вместе с водой, поэтому в его системе отсчёта вода неподвижна. Тогда лодка в этой системе движется со своей собственной скоростью $v$ — вперёд, когда гребец гребёт по течению, и назад, когда он гребёт против. Модуль этой скорости в обоих случаях одинаков, а пройти относительно плота надо одно и то же расстояние $s = 10\ \text{м}$: $$t_1 = \frac{s}{v},\qquad t_2 = \frac{s}{v}\quad\Longrightarrow\quad t_1 = t_2 .$$ Течение здесь вообще не входит в результат: оно одинаково сносит и лодку, и плот.
Способ 2 — в системе отсчёта берега (проверка). Пусть ось направлена по течению. При движении по течению скорость лодки относительно берега $v_1 = u + v$, скорость плота $u$, значит скорость лодки относительно плота $$v_{\text{отн},1} = (u + v) - u = v,\qquad t_1 = \frac{s}{v}.$$ При движении против течения скорость лодки относительно берега $v_2 = u - v$, а скорость плота относительно лодки $$v_{\text{отн},2} = u - (u - v) = v,\qquad t_2 = \frac{s}{v}.$$ Оба выражения совпали.
$$t_1 = t_2 = \frac{s}{v} = \frac{10\ \text{м}}{v}.$$ Например, при собственной скорости лодки $v = 2\ \text{м/с}$ каждое из двух действий займёт $$t = \frac{10\ \text{м}}{2\ \text{м/с}} = 5\ \text{с}$$ независимо от скорости течения реки.
Вывод: времена одинаковы, потому что относительно плота (то есть относительно самой воды) лодка в обоих случаях проходит одно и то же расстояние с одной и той же по модулю скоростью; течение сносит лодку и плот одинаково и на их взаимное смещение не влияет.