Тепловой Баланс — Задание 21 ОГЭ по физике №00000859

Что дано и что найти

Объём свинцового шарика $V = 0{,}02\ \text{см}^3 = 0{,}02\cdot 10^{-6}\ \text{м}^3 = 2\cdot 10^{-8}\ \text{м}^3$; шарик равномерно падает в воде; путь $s = 3\ \text{м}$. Табличные данные: плотность свинца $\rho_{\text{Pb}} = 11\,300\ \text{кг/м}^3$, плотность воды $\rho_{\text{в}} = 1000\ \text{кг/м}^3$, $g = 10\ \text{м/с}^2$. Найти количество теплоты $Q$, выделившееся при перемещении шарика на $s$.

Обоснование модели

Шарик движется равномерно, значит его ускорение равно нулю, и по второму закону Ньютона векторная сумма всех сил, действующих на шарик, равна нулю. На шарик действуют три силы: сила тяжести $m g$ (вниз), выталкивающая сила Архимеда $F_A$ (вверх) и сила сопротивления воды $F_{\text{с}}$ (вверх, против движения).

Вода — несжимаемая жидкость в поле тяжести, шарик полностью погружён, поэтому применим закон Архимеда: $F_A = \rho_{\text{в}} V g$, где $V$ — объём шарика (он же объём вытесненной воды).

Шарик «маленький», поэтому на пути $3\ \text{м}$ плотность воды и ускорение свободного падения считаем постоянными; шарик считаем сплошным (без полостей), так что его масса $m = \rho_{\text{Pb}} V$.

Так как движение равномерное, кинетическая энергия шарика не меняется. Значит вся работа, которую совершают над шариком сила тяжести и сила Архимеда, целиком идёт на преодоление сопротивления воды и переходит во внутреннюю энергию воды и шарика, то есть в теплоту. Это и есть закон сохранения энергии для данной системы: нагрева от иных источников нет, излучением пренебрегаем.

Решение

Условие равновесия сил (проекция на вертикаль, ось вниз): $$m g - F_A - F_{\text{с}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad F_{\text{с}} = m g - F_A .$$

Подставим $m = \rho_{\text{Pb}} V$ и $F_A = \rho_{\text{в}} V g$: $$F_{\text{с}} = \rho_{\text{Pb}} V g - \rho_{\text{в}} V g = V g\,(\rho_{\text{Pb}} - \rho_{\text{в}}).$$

Сила сопротивления постоянна (движение равномерное) и направлена против перемещения, поэтому её работа по модулю равна $A_{\text{с}} = F_{\text{с}} s$. Именно эта работа и превращается в теплоту: $$Q = F_{\text{с}}\, s = V g\,(\rho_{\text{Pb}} - \rho_{\text{в}})\, s .$$

Тот же результат даёт энергетический баланс напрямую: убыль потенциальной энергии шарика $m g s$ минус работа выталкивающей силы $\rho_{\text{в}} V g s$ при неизменной кинетической энергии равна выделившейся теплоте.

Вычисления

$$F_{\text{с}} = 2\cdot 10^{-8}\ \text{м}^3 \cdot 10\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}\cdot(11\,300 - 1000)\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 2\cdot 10^{-8}\cdot 10\cdot 10\,300\ \text{Н} \approx 2{,}06\cdot 10^{-3}\ \text{Н}.$$

$$Q = F_{\text{с}} s = 2{,}06\cdot 10^{-3}\ \text{Н}\cdot 3\ \text{м} \approx 6{,}2\cdot 10^{-3}\ \text{Дж} = 6{,}2\ \text{мДж}.$$

Размерность: $\text{Н}\cdot\text{м} = \text{Дж}$ — получена энергия, как и требовалось. Величина мала, потому что шарик крошечный: его масса всего $m = \rho_{\text{Pb}} V = 11\,300\cdot 2\cdot 10^{-8} \approx 2{,}3\cdot 10^{-4}\ \text{кг}$, то есть около четверти грамма.