ID: 00019310
Воздушный шар объёмом $200\ \text{м}^3$ натягивает трос, которым он прикреплён к причальной мачте, с силой $400\ \text{Н}$. После освобождения троса шар парит на некоторой высоте. Какова плотность воздуха на этой высоте? Плотность воздуха у поверхности земли считать равной $1{,}29\ \text{кг/м}^3$.
Источник: Сборник дидактических материалов Пёрышкина
Дано:
$V=200\ \text{м}^3$
$T=400\ \text{Н}$ (сила натяжения троса)
$\rho_0=1{,}29\ \text{кг/м}^3$ (воздух у земли)
$g=10\ \text{Н/кг}$
Найти: $\rho$ (на высоте)
Решение:
Пока шар привязан у земли, его вверх тянет выталкивающая сила, а вниз — собственный вес шара $P$ и натяжение троса. Шар уравновешен:
$$F_{A0}=P+T,\qquad \rho_0\,g\,V=P+T$$
Когда шар отпустили, он поднялся и теперь просто парит — трос не держит. Значит, выталкивающая сила равна одному только весу шара:
$$F_A=P,\qquad \rho\,g\,V=P$$
Вес шара $P$ не изменился. Вычтем одно из другого:
$$\rho_0\,g\,V-\rho\,g\,V=T$$
$$\rho=\rho_0-\frac{T}{g\,V}=1{,}29-\frac{400}{10\cdot 200}=1{,}29-0{,}2=1{,}09\ \text{кг/м}^3$$
Ответ: $1{,}09\ \text{кг/м}^3$.