Электростатика — Задание 21 ЕГЭ по физике №00048145

Разберёмся с расстановкой по рисунку. Квадрат $ABCD$: $A$ — левая верхняя вершина, $B$ — правая верхняя, $C$ — правая нижняя, $D$ — левая нижняя. В $A$ сидит заряд $+q$, в $B$ — заряд $-q$, в $C$ — заряд $+2q$, вершина $D$ пустая. Нужно сложить поля трёх зарядов в центре квадрата $O$, а потом сделать то же самое, когда $-q$ переехал из $B$ в $D$.

Шаг 1 — какие законы работают. Каждый точечный заряд создаёт в точке $O$ поле с модулем

$$E=k\dfrac{|Q|}{r^2},$$

где $r$ — расстояние от заряда до $O$. Вектор напряжённости положительного заряда направлен от заряда, отрицательного — к заряду. Полное поле — векторная сумма полей всех зарядов: это принцип суперпозиции.

Шаг 2 — модули. Центр квадрата одинаково удалён от всех вершин: $r$ — половина диагонали. Обозначим $E_0=k\dfrac{q}{r^2}$ — поле заряда $q$ в центре. Тогда заряды $+q$ и $-q$ дают в $O$ поля модулем $E_0$, а заряд $+2q$ — поле $2E_0$.

Шаг 3 — первый случай, складываем по диагоналям. Заряды $+q$ (в $A$) и $+2q$ (в $C$) стоят на концах диагонали $AC$. Поле $+q$ направлено от $A$ к $C$, поле $+2q$ — от $C$ к $A$. Они на одной прямой и смотрят навстречу, поэтому их сумма направлена к $A$ и равна $2E_0-E_0=E_0$. Заряд $-q$ в $B$ тянет вектор к себе: его поле $E_0$ направлено от $O$ к $B$, вдоль другой диагонали. Диагонали квадрата перпендикулярны, значит складываем два перпендикулярных вектора одинаковой длины $E_0$ по теореме Пифагора:

$$E_1=\sqrt{E_0^2+E_0^2}=\sqrt2\,E_0$$

Сумма двух равных перпендикулярных векторов идёт посередине между ними — между направлениями на $A$ и на $B$, то есть к середине верхней стороны $AB$ (на рисунке — вертикально вверх).

Шаг 4 — второй случай. Пара на диагонали $AC$ не изменилась: её вклад по-прежнему $E_0$ и направлен к $A$. Заряд $-q$ теперь в $D$, и его поле $E_0$ направлено от $O$ к $D$. Направление на $D$ тоже перпендикулярно диагонали $AC$, так что и здесь складываем два перпендикулярных вектора по $E_0$:

$$E_2=\sqrt{E_0^2+E_0^2}=\sqrt2\,E_0$$

Теперь результирующий вектор идёт посередине между направлениями на $A$ и на $D$, то есть к середине левой стороны $AD$ (на рисунке — горизонтально влево).

Шаг 5 — рисунки и вывод. На первом рисунке из центра $O$ строим вектор $\vec E_1$ вверх, к середине $AB$; на втором — вектор $\vec E_2$ такой же длины влево, к середине $AD$. Модуль остался прежним, $E_2=E_1=\sqrt2\,E_0$, а направление сменилось с «вверх» на «влево» — это поворот на $90^\circ$ против часовой стрелки.

Проверим себя координатами. Поместим $O$ в начало координат, ось $x$ направим вправо, ось $y$ — вверх, а единичный вектор вдоль диагонали запишем как $\dfrac{1}{\sqrt2}(\pm1;\pm1)$. Первый случай: от $A$ получаем $\dfrac{E_0}{\sqrt2}(1;-1)$, от $B$ — $\dfrac{E_0}{\sqrt2}(1;1)$, от $C$ — $\dfrac{2E_0}{\sqrt2}(-1;1)$; сумма $\dfrac{E_0}{\sqrt2}(0;2)$, то есть $\sqrt2\,E_0$ вверх. Второй случай: вместо вклада $B$ берём вклад $D$ — $\dfrac{E_0}{\sqrt2}(-1;-1)$; сумма $\dfrac{E_0}{\sqrt2}(-2;0)$, то есть $\sqrt2\,E_0$ влево. Всё сходится.