ID: 00015290
На рисунке показан график зависимости модуля среднеквадратичной скорости $v_{\text{ср.кв.}}$ атомов одноатомного идеального газа от объёма $V$ газа в некотором процессе $1\to 2$. Количество атомов газа в течение этого процесса не изменяется. На основании анализа представленного графика выберите все верные утверждения.
1) В процессе $1\to 2$ газ совершает положительную работу.
2) В процессе $1\to 2$ внутренняя энергия газа уменьшается.
3) В процессе $1\to 2$ давление $p$ газа возрастает прямо пропорционально объёму $V$ газа.
4) В процессе $1\to 2$ газ отдаёт некоторое количество теплоты окружающим телам.
5) Процесс $1\to 2$ является изобарическим.
Запишите в ответ выбранные цифры.
Источник: ФИПИ
Задача про связь «скорость молекул — температура — давление». Разберём по шагам, что даёт график, а потом проверим каждое утверждение.
Что видно на рисунке. По горизонтали отложен объём газа $V$, по вертикали — среднеквадратичная скорость атомов $v_{\text{ср.кв.}}$. Точки 1 и 2 соединены прямым отрезком, стрелка направлена вправо-вверх: от точки 1 к точке 2 и объём, и скорость растут.
Снимем координаты по клеткам: точка 1 стоит на пересечении «2 клетки вправо, 2 клетки вверх», точка 2 — «7 клеток вправо, 7 клеток вверх». Обе точки лежат на прямой, которая при продолжении приходит точно в начало координат.
Это важнейший вывод: скорость прямо пропорциональна объёму.
$$v_{\text{ср.кв.}}=k\,V,\qquad k=\text{const}$$
Переходим к температуре. Среднеквадратичная скорость — это «типичная» скорость атомов, и она связана с температурой формулой
$$v_{\text{ср.кв.}}=\sqrt{\frac{3kT}{m_0}}$$
Отсюда видно: температура пропорциональна квадрату скорости.
$$T\sim v_{\text{ср.кв.}}^{2}$$
А раз скорость пропорциональна объёму, то
$$T\sim V^{2}$$
Теперь давление. Берём уравнение состояния и выражаем давление:
$$pV=\nu RT\ \Rightarrow\ p=\frac{\nu RT}{V}$$
Подставляем $T\sim V^2$:
$$p\sim\frac{V^{2}}{V}=V$$
Получилось: давление растёт прямо пропорционально объёму. Теперь проверяем утверждения.
Утверждение 1. Объём газа растёт (точка 2 правее точки 1), значит газ расширяется и совершает положительную работу. Верно.
Утверждение 2. Скорость атомов растёт, значит растёт и температура, а с ней и внутренняя энергия $U=\frac{3}{2}\nu RT$. Она увеличивается, а не уменьшается. Неверно.
Утверждение 3. Мы только что получили $p\sim V$ — это и есть прямая пропорциональность. Верно.
Утверждение 4. Проверим по первому закону термодинамики: подведённое тепло идёт на нагрев газа и на его работу.
$$Q=\Delta U+A$$
У нас $\Delta U\gt 0$ (газ нагревается) и $A\gt 0$ (газ расширяется), значит $Q\gt 0$ — газ теплоту получает, а не отдаёт. Неверно.
Утверждение 5. Изобарический процесс — это процесс при постоянном давлении. У нас же давление растёт вместе с объёмом. Неверно.
Итого верны утверждения 1 и 3; цифры в ответе пишут по возрастанию.