ID: 00015288
Один моль одноатомного идеального газа участвует в циклическом процессе, график которого изображён на $TV$-диаграмме. Выберите все верные утверждения на основании анализа представленного графика.
1) Давление газа в состоянии 2 больше давления газа в состоянии 4.
2) Работа газа на участке 2–3 положительна.
3) На участке 1–2 давление газа увеличивается.
4) На участке 4–1 от газа отводится некоторое количество теплоты.
5) Изменение внутренней энергии газа на участке 1−2 меньше, чем изменение внутренней энергии газа на участке 2−3.
Запишите в ответ выбранные цифры.
Источник: ФИПИ
Диаграмма дана в осях «объём — температура», и это удобно: температура читается прямо с рисунка, а давление придётся достать из уравнения состояния.
Что видно на рисунке. По горизонтали отложен объём $V$, по вертикали — абсолютная температура $T$. Цикл идёт 1 → 2 → 3 → 4 → 1.
Участок 1−2 — наклонная прямая вправо-вверх, и пунктир показывает, что её продолжение приходит точно в начало координат: и объём, и температура растут.
Участок 2−3 — строго вертикальный отрезок вниз: объём не меняется, температура падает.
Участки 3−4 и 4−1 — движение влево по нижней линии до точки 1: объём уменьшается, температура остаётся низкой. Точки 4 и 1 лежат на одной горизонтали, то есть имеют одинаковую температуру.
Второй пунктир идёт из начала координат в точку 4 — он нам пригодится для сравнения давлений.
Главный инструмент — уравнение состояния, из которого выражаем давление:
$$pV=\nu RT\ \Rightarrow\ p=\frac{\nu RT}{V}$$
Отсюда полезное правило для этой диаграммы: давление задаётся отношением $\dfrac{T}{V}$, то есть наклоном луча, проведённого из начала координат в данную точку. Луч круче — давление больше. А прямая, идущая через начало координат, — это изобара, процесс при постоянном давлении.
Утверждение 1. Сравним $p_2$ и $p_4$.
Участок 1−2 лежит на прямой, проходящей через начало координат, значит это изобара и $p_2=p_1$.
Теперь сравним точки 1 и 4: у них одинаковая температура, но точка 4 стоит правее, то есть её объём больше. По формуле $p=\dfrac{\nu RT}{V}$ при той же температуре больший объём даёт меньшее давление:
$$p_4\lt p_1=p_2$$
Значит давление в состоянии 2 действительно больше, чем в состоянии 4. Верно.
Утверждение 2. На участке 2−3 отрезок вертикальный: объём вообще не меняется. Работа газа связана только с изменением объёма, поэтому
$$A_{2-3}=0$$
Ноль — это не положительная величина. Неверно.
Утверждение 3. Участок 1−2 — изобара, давление на нём постоянно и не увеличивается. Неверно.
Утверждение 4. На участке 4−1 температура не меняется (точки на одной горизонтали), а объём уменьшается — газ сжимают.
Раз температура постоянна, то не меняется и внутренняя энергия:
$$\Delta U=0$$
Раз газ сжимают, работа газа отрицательна: $A\lt 0$. Подставляем в первый закон термодинамики:
$$Q=\Delta U+A=0+A\lt 0$$
Отрицательное $Q$ означает, что теплоту от газа отводят. Верно.
По смыслу так и должно быть: сжимаемый газ стремится нагреться, но температуру держат постоянной, значит лишнее тепло приходится отбирать.
Утверждение 5. Внутренняя энергия одноатомного газа $U=\frac{3}{2}\nu RT$, поэтому её изменение идёт за изменением температуры.
На участке 1−2 температура растёт, значит $\Delta U_{1-2}\gt 0$.
На участке 2−3 температура падает, значит $\Delta U_{2-3}\lt 0$.
Положительное число больше отрицательного, то есть $\Delta U_{1-2}\gt\Delta U_{2-3}$ — всё наоборот по сравнению с утверждением. Неверно.
Итого верны утверждения 1 и 4.