ID: 00015284
На рисунке в координатах $p-V$ показан циклический процесс 1−2−3−4−1, который совершает один моль идеального одноатомного газа. Из предложенного перечня выберите все верные утверждения и укажите их номера.
1) В процессе 1−2 внутренняя энергия газа увеличивается.
2) В процессе 2−3 газ совершает положительную работу.
3) В процессе 3−4 газу сообщают некоторое количество теплоты.
4) В процессе 4−1 температура газа увеличивается в 4 раза.
5) Работа, совершённая газом в процессе 1−2, в 3 раза больше работы, совершённой над газом в процессе 3−4.
Запишите в ответ выбранные цифры.
Источник: ФИПИ
Цикл нарисован «прямоугольником», поэтому каждый участок — это либо изобара (давление постоянно), либо изохора (объём постоянен). Разберём по клеткам.
Что видно на рисунке. По горизонтали отложен объём $V$, по вертикали — давление $p$, есть клетчатая сетка. Обозначим одну клетку по объёму как $V_0$, а одну клетку по давлению как $p_0$.
Тогда координаты вершин такие:
точка 1 — $(V_0;\ 4p_0)$, точка 2 — $(4V_0;\ 4p_0)$, точка 3 — $(4V_0;\ p_0)$, точка 4 — $(V_0;\ p_0)$.
По стрелкам обход такой: 1→2 вправо по верхней стороне (расширение при постоянном давлении), 2→3 вниз (давление падает при постоянном объёме), 3→4 влево по нижней стороне (сжатие при постоянном давлении), 4→1 вверх (давление растёт при постоянном объёме).
Два рабочих правила. Температура пропорциональна произведению $p\cdot V$, потому что
$$pV=\nu RT\ \Rightarrow\ T=\frac{pV}{\nu R}$$
Работа газа на изобаре считается просто:
$$A=p\,\Delta V$$
а на изохоре объём не меняется, поэтому $A=0$.
Утверждение 1. Сравним произведения $pV$ в точках 1 и 2.
$$p_1V_1=4p_0\cdot V_0=4p_0V_0,\qquad p_2V_2=4p_0\cdot4V_0=16p_0V_0$$
Температура выросла в 4 раза, значит и внутренняя энергия $U=\frac{3}{2}\nu RT$ увеличилась. Верно.
Утверждение 2. Участок 2−3 вертикальный: объём постоянен, газ ничего не раздвигает, поэтому $A_{2-3}=0$. Ноль не является положительной работой. Неверно.
Утверждение 3. Разберём участок 3−4. Объём уменьшается с $4V_0$ до $V_0$, значит газ сжимают и работа газа отрицательна:
$$A_{3-4}=p_0\cdot(V_0-4V_0)=-3p_0V_0$$
Температуры: $p_3V_3=p_0\cdot4V_0=4p_0V_0$, а $p_4V_4=p_0\cdot V_0=p_0V_0$ — температура упала вчетверо, значит $\Delta U\lt 0$.
Подставляем в первый закон термодинамики:
$$Q=\Delta U+A\lt 0$$
Оба слагаемых отрицательные, поэтому теплота отрицательна — газ теплоту отдаёт, а не получает. Неверно.
Утверждение 4. На участке 4−1 объём остаётся равным $V_0$, а давление растёт с $p_0$ до $4p_0$. Считаем отношение температур:
$$\frac{T_1}{T_4}=\frac{p_1V_1}{p_4V_4}=\frac{4p_0\cdot V_0}{p_0\cdot V_0}=4$$
Температура выросла ровно в 4 раза. Верно.
Утверждение 5. Работа газа на участке 1−2 (изобара при давлении $4p_0$):
$$A_{1-2}=4p_0\cdot(4V_0-V_0)=12p_0V_0$$
Работа, совершённая над газом на участке 3−4, — это модуль найденной выше величины:
$$|A_{3-4}|=3p_0V_0$$
Отношение:
$$\frac{12p_0V_0}{3p_0V_0}=4$$
Получилось в 4 раза, а не в 3. Неверно.
Итого верны утверждения 1 и 4.