Циклы и Тепловые… — Задание 9 ЕГЭ по физике №00015252

Здесь два циклических процесса с одним и тем же количеством гелия, и надо сравнить теплоту на отдельных участках. Гелий — одноатомный газ, это важно: у него внутренняя энергия равна $U=\frac{3}{2}\nu RT$.

Что видно на рисунке. Обе диаграммы построены в осях $p$–$V$ с одинаковыми делениями $p_0$ и $V_0$.

Левый цикл $1-2-3-4-1$: точка 1 — $(V_0;\ p_0)$, точка 2 — $(V_0;\ 4p_0)$, точка 3 — $(2V_0;\ 4p_0)$, точка 4 — $(2V_0;\ p_0)$. Получается вытянутый вверх прямоугольник: узкий по объёму (от $V_0$ до $2V_0$) и высокий по давлению (от $p_0$ до $4p_0$).

Правый цикл $5-6-7-8-5$: точка 5 — $(V_0;\ 3p_0)$, точка 6 — $(V_0;\ 4p_0)$, точка 7 — $(4V_0;\ 4p_0)$, точка 8 — $(4V_0;\ 3p_0)$. Это, наоборот, широкий и низкий прямоугольник: по объёму от $V_0$ до $4V_0$, по давлению всего от $3p_0$ до $4p_0$.

Разбираемся, где что происходит. Вертикальные стороны прямоугольников — изохорные процессы (объём постоянен), горизонтальные — изобарные (давление постоянно). Газ получает теплоту там, где его температура растёт, и отдаёт там, где падает. А температура пропорциональна произведению $pV$, поэтому:

в левом цикле теплоту получают на участках $1\rightarrow 2$ (изохорный подъём давления) и $2\rightarrow 3$ (изобарное расширение), а отдают на $3\rightarrow 4$ и $4\rightarrow 1$;

в правом цикле — получают на $5\rightarrow 6$ и $6\rightarrow 7$, отдают на $7\rightarrow 8$ и $8\rightarrow 5$.

Две рабочие формулы. Изменение внутренней энергии одноатомного газа удобно писать через $pV$:

$$\Delta U = \frac{3}{2}\,\nu R\,\Delta T = \frac{3}{2}\,\Delta(pV)$$

Для изохорного процесса работа нулевая, поэтому вся теплота идёт во внутреннюю энергию:

$$Q_V = \frac{3}{2}\,V\,\Delta p$$

Для изобарного процесса добавляется работа $A=p\,\Delta V$:

$$Q_p = \frac{3}{2}\,p\,\Delta V + p\,\Delta V = \frac{5}{2}\,p\,\Delta V$$

Считать будем прямо в «кирпичиках» $p_0V_0$ — сравнивать это не мешает.

Утверждение 1. Работа за цикл — это площадь прямоугольника на диаграмме. У левого цикла она равна $(2V_0-V_0)\cdot(4p_0-p_0)=3p_0V_0$, у правого $(4V_0-V_0)\cdot(4p_0-3p_0)=3p_0V_0$. Ни одна из них не ноль. Утверждение неверное.

Утверждение 2 (изобарный процесс, где теплоту получают). В левом цикле это $2\rightarrow 3$: давление $4p_0$, объём растёт на $V_0$:

$$Q = \frac{5}{2}\cdot 4p_0 \cdot V_0 = 10\,p_0V_0$$

В правом цикле это $6\rightarrow 7$: давление $4p_0$, объём растёт на $3V_0$:

$$Q = \frac{5}{2}\cdot 4p_0 \cdot 3V_0 = 30\,p_0V_0$$

В левом цикле меньше, а не больше. Утверждение неверное.

Утверждение 3 (изохорный процесс, где теплоту получают). В левом цикле это $1\rightarrow 2$: объём $V_0$, давление растёт на $3p_0$:

$$Q = \frac{3}{2}\cdot V_0 \cdot 3p_0 = 4{,}5\,p_0V_0$$

В правом цикле это $5\rightarrow 6$: объём $V_0$, давление растёт на $p_0$:

$$Q = \frac{3}{2}\cdot V_0 \cdot p_0 = 1{,}5\,p_0V_0$$

В левом цикле больше. Утверждение верное.

Утверждение 4 (изобарный процесс, где теплоту отдают). В левом цикле это $4\rightarrow 1$: давление $p_0$, объём уменьшается на $V_0$:

$$|Q| = \frac{5}{2}\cdot p_0 \cdot V_0 = 2{,}5\,p_0V_0$$

В правом цикле это $8\rightarrow 5$: давление $3p_0$, объём уменьшается на $3V_0$:

$$|Q| = \frac{5}{2}\cdot 3p_0 \cdot 3V_0 = 22{,}5\,p_0V_0$$

В левом цикле действительно меньше. Утверждение верное.

Утверждение 5 (изохорный процесс, где теплоту отдают). В левом цикле это $3\rightarrow 4$: объём $2V_0$, давление падает на $3p_0$:

$$|Q| = \frac{3}{2}\cdot 2V_0 \cdot 3p_0 = 9\,p_0V_0$$

В правом цикле это $7\rightarrow 8$: объём $4V_0$, давление падает на $p_0$:

$$|Q| = \frac{3}{2}\cdot 4V_0 \cdot p_0 = 6\,p_0V_0$$

В левом цикле получилось больше, а не меньше. Утверждение неверное.

Проверка себя. Быстрый контроль: за полный цикл газ должен получить теплоты ровно на работу больше, чем отдать. Левый цикл: получено $4{,}5+10=14{,}5$, отдано $9+2{,}5=11{,}5$, разница $3\,p_0V_0$ — совпадает с его площадью. Правый цикл: получено $1{,}5+30=31{,}5$, отдано $6+22{,}5=28{,}5$, разница тоже $3\,p_0V_0$. Значит, все четыре числа посчитаны верно.

Верны утверждения 3 и 4, записываем цифры подряд по возрастанию.