МКТ — Задание 9 ЕГЭ по физике №00015248

Из сосуда потихоньку утекает азот, температуру при этом держат постоянной. Раз газа становится меньше, падает и давление — и график показывает, как именно. Наша задача — снять с графика числа и проверить каждое утверждение.

Что видно на рисунке. По горизонтали отложено время $t$ в минутах (подписаны деления $20$ и $40$), по вертикали — давление $p$ в килопаскалях (подписаны $100$ и $200$). Линия прямая и идёт вниз.

Точка $1$ на графике: $t=10$ мин, $p=200$ кПа.

Точка $2$: $t=30$ мин, $p=100$ кПа.

Если продолжить прямую влево до вертикальной оси, она упирается в $p_0=250$ кПа при $t=0$ — это начальное давление. Вправо прямая доходит до нуля примерно к $t=50$ мин.

Найдём, с какой скоростью падает давление, по двум снятым точкам:

$$\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{100\ \text{кПа}-200\ \text{кПа}}{30\ \text{мин}-10\ \text{мин}}=-5\ \frac{\text{кПа}}{\text{мин}}.$$

Дальше всё держится на уравнении состояния идеального газа (уравнении Менделеева — Клапейрона), которое связывает давление, объём, количество вещества и температуру:

$$pV=\nu RT.$$

Утверждение 2 удобно проверить первым, потому что объём нужен и в других пунктах. По условию в начальный момент в сосуде $\nu_0=2$ моль, температура $T=301$ К, а начальное давление мы сняли с графика: $p_0=250$ кПа $=2{,}5\cdot10^{5}$ Па. Выражаем объём:

$$V=\frac{\nu_0RT}{p_0}=\frac{2\cdot8{,}31\cdot301}{2{,}5\cdot10^{5}}\ \text{м}^3=\frac{5003}{2{,}5\cdot10^{5}}\ \text{м}^3\approx0{,}020\ \text{м}^3.$$

А $0{,}020$ кубометра — это ровно $20$ литров. Утверждение верно.

Утверждение 4. Масса — это количество вещества, умноженное на молярную массу. У азота $N_2$ молярная масса $M=28$ г/моль:

$$m=\nu_0M=2\ \text{моль}\cdot28\ \frac{\text{г}}{\text{моль}}=56\ \text{г}.$$

Утверждение верно.

Утверждение 1. Скорость утечки — это сколько молей уходит за минуту. Объём и температура постоянны, поэтому из $pV=\nu RT$ видно: во сколько раз падает давление, во столько же падает и количество вещества. Переведём падение давления в падение количества вещества:

$$\frac{\Delta\nu}{\Delta t}=\frac{V}{RT}\cdot\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{0{,}020}{8{,}31\cdot301}\cdot5000\ \frac{\text{моль}}{\text{мин}}.$$

Считаем по шагам: в знаменателе $8{,}31\cdot301\approx2501$; в числителе $0{,}020\cdot5000=100$. Значит

$$\frac{\Delta\nu}{\Delta t}\approx\frac{100}{2501}\approx0{,}04\ \frac{\text{моль}}{\text{мин}}.$$

Утверждение верно.

Утверждение 3. Концентрация — это число молекул в одном кубическом метре. Её удобно найти из формулы $p=nkT$, где $k=1{,}38\cdot10^{-23}$ Дж/К — постоянная Больцмана:

$$n=\frac{p_0}{kT}=\frac{2{,}5\cdot10^{5}}{1{,}38\cdot10^{-23}\cdot301}\approx\frac{2{,}5\cdot10^{5}}{4{,}15\cdot10^{-21}}\approx6\cdot10^{25}\ \text{м}^{-3}.$$

Это десятки септиллионов молекул в кубометре, а вовсе не сотня. Утверждение неверно (да и по смыслу: сто молекул на кубометр — это глубокий вакуум, никакие $250$ кПа при этом невозможны).

Утверждение 5. Средняя кинетическая энергия хаотического движения молекул зависит только от температуры:

$$\overline{E}=\frac{3}{2}kT.$$

По условию температура газа всё время поддерживается равной $301$ К, значит в состояниях $1$ и $2$ она одна и та же, и средние энергии молекул одинаковы. Ни о каком «в три раза больше» речи нет. Утверждение неверно.

Проверка себя. Прямая упирается в ноль примерно на $50$-й минуте. За это время должны уйти все $2$ моля: $0{,}04\ \text{моль/мин}\cdot50\ \text{мин}=2$ моль. Сходится — значит скорость утечки найдена правильно.

Верны утверждения под номерами $1$, $2$ и $4$.