ID: 00015246
На рисунке в координатах $p-V$ показан циклический процесс $1\!-\!2\!-\!3\!-\!4\!-\!1$, который совершает один моль идеального одноатомного газа. Из предложенного перечня выберите все верные утверждения и укажите их номера.
1) В процессе $1\!-\!2$ внутренняя энергия газа уменьшается.
2) В процессе $2\!-\!3$ газ не совершает работу.
3) В процессе $3\!-\!4$ от газа отнимают некоторое количество теплоты.
4) В процессе $4\!-\!1$ температура газа увеличивается в $2$ раза.
5) Работа, совершённая газом в процессе $1\!-\!2$, в $3$ раза больше работы, совершённой над газом в процессе $3\!-\!4$.
Источник: ФИПИ
Газ гоняют по замкнутому циклу: четыре процесса — и он снова в исходном состоянии. Всё, что нужно для ответа, читается прямо с картинки по клеткам.
Что видно на рисунке. По горизонтали объём $V$, по вертикали давление $p$, фон расчерчен в клетку. Цикл — прямоугольник, стрелки задают обход $1\to2\to3\to4\to1$.
Считаем клетки и обозначаем одну клетку по давлению как $p_0$, одну клетку по объёму как $V_0$:
Точка $1$: $V_1=V_0$, $p_1=4p_0$ (левый край, верхняя линия).
Точка $2$: $V_2=4V_0$, $p_2=4p_0$ (правый край, та же верхняя линия).
Точка $3$: $V_3=4V_0$, $p_3=p_0$ (правый край, нижняя линия).
Точка $4$: $V_4=V_0$, $p_4=p_0$ (левый край, нижняя линия).
Понадобятся три простых правила.
Первое: для идеального газа $pV=\nu RT$, поэтому температуру двух состояний сравнивают по произведению $pV$ — чем оно больше, тем горячее газ.
Второе: внутренняя энергия одноатомного газа зависит только от температуры, $U=\frac{3}{2}\nu RT$. Растёт температура — растёт энергия.
Третье: работа газа при постоянном давлении равна $A=p\,\Delta V$. При расширении она положительна, при сжатии отрицательна (работу совершают уже над газом), а при постоянном объёме работы нет вообще.
Утверждение 1. Смотрим переход $1\to2$: давление держится $4p_0$, объём растёт с $V_0$ до $4V_0$. Сравниваем произведения:
$$p_1V_1=4p_0V_0,\qquad p_2V_2=4p_0\cdot4V_0=16p_0V_0.$$Температура выросла вчетверо, значит и внутренняя энергия выросла, а не уменьшилась. Неверно.
Утверждение 2. Участок $2-3$ — вертикальный отрезок: объём стоит на $4V_0$, меняется только давление. Работа газа
$$A_{23}=p\,\Delta V=0.$$Газ действительно не совершает работы. Верно.
Утверждение 3. Участок $3-4$ идёт при постоянном давлении $p_0$, объём падает с $4V_0$ до $V_0$ — газ сжимают. Что при этом с температурой:
$$p_3V_3=4p_0V_0,\qquad p_4V_4=p_0V_0.$$Произведение упало в $4$ раза, значит газ остыл и его внутренняя энергия уменьшилась: $\Delta U\lt0$. Работа самого газа тоже отрицательна, ведь его сжимают: $A_{\text{газа}}\lt0$. Подставляем в первый закон термодинамики (подведённое тепло идёт на прирост внутренней энергии и на работу газа):
$$Q=\Delta U+A_{\text{газа}}\lt0.$$Отрицательное $Q$ и означает, что теплоту у газа отбирают. Верно.
Утверждение 4. Переход $4\to1$ идёт при постоянном объёме $V_0$, давление растёт с $p_0$ до $4p_0$:
$$\frac{T_1}{T_4}=\frac{p_1V_1}{p_4V_4}=\frac{4p_0V_0}{p_0V_0}=4.$$Температура выросла в $4$ раза, а не в $2$. Неверно.
Утверждение 5. Оба горизонтальных участка идут при постоянном давлении, поэтому работа считается как «давление умножить на изменение объёма». Для расширения $1-2$ при давлении $4p_0$:
$$A_{12}=4p_0\cdot(4V_0-V_0)=4p_0\cdot3V_0=12\,p_0V_0.$$Для сжатия $3-4$ при давлении $p_0$ работа внешних сил над газом по модулю равна
$$A_{34}=p_0\cdot(4V_0-V_0)=3\,p_0V_0.$$Отношение:
$$\frac{A_{12}}{A_{34}}=\frac{12\,p_0V_0}{3\,p_0V_0}=4.$$Получилось в $4$ раза, а в утверждении сказано «в $3$ раза». Неверно.
Проверка себя. Длины горизонтальных участков одинаковы ($3$ клетки), а давление на верхнем в $4$ раза больше, чем на нижнем. Значит и площадь под верхним участком (то есть работа) ровно в $4$ раза больше — совпадает с расчётом.
Верны утверждения под номерами $2$ и $3$.