Циклы и Тепловые… — Задание 9 ЕГЭ по физике №00015245

Газ проходит замкнутый цикл из четырёх процессов. Никаких «хитрых» формул тут не нужно: снимаем координаты вершин по клеткам и проверяем утверждения одно за другим.

Что видно на рисунке. Горизонтальная ось — объём $V$, вертикальная — давление $p$, поле разлиновано в клетку. График цикла — прямоугольник, стрелки показывают обход $1\to2\to3\to4\to1$.

Обозначим одну клетку по давлению как $p_0$, одну клетку по объёму как $V_0$, и снимем вершины:

$1$: $V_1=V_0$, $p_1=4p_0$. $\quad$ $2$: $V_2=4V_0$, $p_2=4p_0$.

$3$: $V_3=4V_0$, $p_3=p_0$. $\quad$ $4$: $V_4=V_0$, $p_4=p_0$.

То есть верхняя сторона прямоугольника лежит вчетверо выше нижней, а левая и правая стороны отстоят по объёму как $1$ к $4$.

Инструменты, которыми будем пользоваться:

Уравнение состояния $pV=\nu RT$ — по нему температура состояния определяется произведением $pV$.

Внутренняя энергия одноатомного газа $U=\frac{3}{2}\nu RT$ — она растёт и падает вместе с температурой.

Работа при постоянном давлении $A=p\,\Delta V$ — положительная при расширении, отрицательная при сжатии, нулевая при неизменном объёме.

Первый закон термодинамики $Q=\Delta U+A_{\text{газа}}$ — подведённое тепло делится между нагревом газа и его работой.

Утверждение 1. В процессе $1-2$ газ расширяется при постоянном давлении. Сравним произведения $pV$ в начале и в конце:

$$p_1V_1=4p_0\cdot V_0=4p_0V_0,\qquad p_2V_2=4p_0\cdot4V_0=16p_0V_0.$$

Температура выросла в $4$ раза, значит и внутренняя энергия увеличилась. Верно.

Утверждение 2. Процесс $2-3$ изображён вертикальной линией: объём остаётся равным $4V_0$, падает только давление. Тогда

$$A_{23}=p\,\Delta V=0,$$

то есть работа нулевая, а не положительная. Неверно.

Утверждение 3. В процессе $3-4$ давление постоянно и равно $p_0$, а объём уменьшается с $4V_0$ до $V_0$. Проверим температуру:

$$p_3V_3=4p_0V_0,\qquad p_4V_4=p_0V_0,$$

то есть газ остыл в $4$ раза, и его внутренняя энергия уменьшилась: $\Delta U\lt0$. Работа самого газа при сжатии тоже отрицательна: $A_{\text{газа}}\lt0$. Складываем по первому закону термодинамики:

$$Q=\Delta U+A_{\text{газа}}\lt0.$$

Отрицательная теплота как раз и означает, что газ её отдаёт. Верно.

Утверждение 4. В процессе $4-1$ объём постоянен, а давление растёт с $p_0$ до $4p_0$. Значит

$$\frac{T_1}{T_4}=\frac{p_1V_1}{p_4V_4}=\frac{4p_0\cdot V_0}{p_0\cdot V_0}=4.$$

Температура увеличивается ровно в $4$ раза. Верно.

Утверждение 5. Считаем работы на двух горизонтальных участках. Расширение $1-2$ идёт при давлении $4p_0$, объём меняется на $3V_0$:

$$A_{12}=4p_0\cdot(4V_0-V_0)=12\,p_0V_0.$$

Сжатие $3-4$ идёт при давлении $p_0$ и на то же изменение объёма $3V_0$, поэтому работа внешних сил над газом по модулю равна

$$A_{34}=p_0\cdot(4V_0-V_0)=3\,p_0V_0.$$

Отношение получается

$$\frac{A_{12}}{A_{34}}=\frac{12}{3}=4,$$

а в утверждении сказано «в $3$ раза». Неверно.

Проверка себя. Отношение работ можно было увидеть и без вычислений: длины горизонтальных участков одинаковы, а давление вверху в $4$ раза больше — значит и площадь под верхним участком в $4$ раза больше.

Верны утверждения под номерами $1$, $3$ и $4$.