ID: 00010943
С постоянной массой идеального одноатомного газа происходит циклический процесс 1-2-3-4-1, Р-V-диаграмма которого представлена на рисунке. Максимальная температура газа в этом процессе составляет 400 К
На основании анализа этого циклического процесса выберите все верные утверждения.
1) Работа, совершенная газом при его изобарическом расширений, равна 200 Дж.
2) Количество вещества газа, участвующего в циклическом процессе, больше 0,45 моль
3) Работа, совершённая над газом при его изобарическом сжатии, равна 200 Дж
4) Изменение внутренней энергии газа в процессе 1-2-3-4-1 равно нулю.
5) Количество теплоты, переданное газу при изохорическом нагревании, равно 400 Дж.
Источник: ФИПИ
На диаграмме нарисован прямоугольный цикл, значит все четыре процесса простые: две изобары (горизонтальные стороны) и две изохоры (вертикальные). Снимем с рисунка координаты точек и дальше будем проверять утверждения по очереди.
Точка 1: \(V = 6\ \text{л},\ p = 200\ \text{кПа}\). Точка 2: \(8\ \text{л},\ 200\ \text{кПа}\). Точка 3: \(8\ \text{л},\ 100\ \text{кПа}\). Точка 4: \(6\ \text{л},\ 100\ \text{кПа}\). Переводим в систему СИ: 1 л \(= 10^{-3}\ \text{м}^3\), 1 кПа \(= 10^{3}\ \text{Па}\).
Итак, \(1 \to 2\) — изобарное расширение при 200 кПа, \(2 \to 3\) — изохорное охлаждение, \(3 \to 4\) — изобарное сжатие при 100 кПа, \(4 \to 1\) — изохорное нагревание.
Утверждение 1 — неверно. При изобарном процессе работа газа \(A = p\,\Delta V\). Расширение идёт на участке \(1 \to 2\) при давлении 200 кПа, объём вырос с 6 до 8 л:
\(A_{12} = 200 \cdot 10^{3} \cdot (8 - 6) \cdot 10^{-3} = 400\ \text{Дж}\).
Это 400 Дж, а не 200 Дж. Число 200 Дж в этой задаче тоже встречается, но оно относится к другим величинам — не путайте его с работой расширения.
Утверждение 2 — верно. Температура газа наибольшая там, где наибольшее произведение \(pV\), — это точка 2. По условию \(T_{\max} = 400\ \text{К}\). Из уравнения Клапейрона — Менделеева \(pV = \nu RT\):
\(\nu = \dfrac{p_2 V_2}{R\,T_{\max}} = \dfrac{200 \cdot 10^{3} \cdot 8 \cdot 10^{-3}}{8{,}31 \cdot 400} = \dfrac{1600}{3324} \approx 0{,}48\ \text{моль}\).
Получилось 0,48 моль, а это больше 0,45 моль.
Утверждение 3 — верно. Сжатие идёт на участке \(3 \to 4\) при давлении 100 кПа, объём уменьшается с 8 до 6 л. Работа, совершённая над газом, равна
\(A' = p\,|\Delta V| = 100 \cdot 10^{3} \cdot 2 \cdot 10^{-3} = 200\ \text{Дж}\).
Утверждение 4 — верно. Внутренняя энергия зависит только от температуры и количества газа. За цикл газ возвращается в исходную точку 1, то есть к прежним \(p\), \(V\), а значит и к прежней температуре. Раз состояние то же — внутренняя энергия та же, и \(\Delta U = 0\).
Утверждение 5 — неверно. Изохорное нагревание — это участок \(4 \to 1\) (объём 6 л, давление растёт со 100 до 200 кПа). Объём не меняется, работы нет, поэтому вся теплота идёт на внутреннюю энергию: \(Q = \Delta U = \dfrac{3}{2}\nu R\,\Delta T\). Удобнее заменить \(\nu R \Delta T\) на \(V\,\Delta p\) (это то же самое по уравнению состояния при постоянном объёме):
\(Q_{41} = \dfrac{3}{2} V \Delta p = 1{,}5 \cdot 6 \cdot 10^{-3} \cdot 100 \cdot 10^{3} = 900\ \text{Дж}\).
Это 900 Дж, а не 400 Дж.
Верны утверждения 2, 3 и 4. Записываем цифры по возрастанию: 234.