Производные в… — Задание ЕГЭ по физике №00005641

Ускорение — это производная скорости, а скорость — производная координаты. Значит, от $x(t)$ до $a(t)$ два шага: продифференцировать один раз и потом ещё раз.

Под синусом стоит не просто $t$, а $\dfrac{\pi t}{4}$, поэтому при каждом дифференцировании появляется множитель — производная этого выражения, равная $\dfrac{\pi}{4}$.

Шаг 1 — скорость. Производная синуса — косинус: $$v(t)=x'(t)=2\cdot\dfrac{\pi}{4}\cos\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)=\dfrac{\pi}{2}\cos\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)$$

Шаг 2 — ускорение. Производная косинуса — минус синус, и множитель $\dfrac{\pi}{4}$ выходит ещё раз: $$a(t)=v'(t)=-\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{\pi}{4}\sin\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)=-\dfrac{\pi^2}{8}\sin\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)$$ Это вариант 3.

Проверим себя свойством колебаний: при гармонических колебаниях ускорение всегда направлено против смещения, $a=-\omega^2 x$. Здесь $\omega=\dfrac{\pi}{4}$, и $-\dfrac{\pi^2}{16}\cdot 2\sin\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)$ даёт то же самое.