Global EE

Производные в… — Задание ЕГЭ по физике №00005640

Задание №34. Математика в Физике

Производные в Физике

№2. Задание без номера

ID: 00005640

Материальная точка совершает колебания по закону $x(t)=2\sin\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)$, где $x$ — в метрах, $t$ — в секундах.

Как выглядит уравнение зависимости скорости от времени?

 

1) $\upsilon(t)=-\dfrac{\pi}{2}\cos\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)$

2) $\upsilon(t)=\dfrac{\pi}{2}\cos\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)$

3) $\upsilon(t)=\dfrac{\pi}{4}\cos\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)$

4) $\upsilon(t)=-\dfrac{\pi}{4}\cos\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)$

В ответе укажите номер правильного варианта.

Источник: Global_EE

Решение

Скорость — производная координаты по времени. Функция сложная: постоянный множитель $2$ (амплитуда колебаний), внешняя функция — синус, внутренняя — $\dfrac{\pi t}{4}$.

Множитель $2$ остаётся на месте. Производная синуса — косинус от той же внутренней части. Производная внутренней части: $\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)'=\dfrac{\pi}{4}$.

Перемножаем: $$\upsilon(t)=2\cdot\cos\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)\cdot\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}\cos\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)$$ Это вариант 2.

В вариантах 3 и 4 потеряна двойка, стоявшая перед синусом. В вариантах 1 и 4 появился лишний минус: он возникает при дифференцировании косинуса, а не синуса.

Проверим себя по смыслу: при $t=0$ точка проходит положение равновесия, и координата $2\sin\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)$ в этот момент растёт. Значит, скорость там положительна — формула $\dfrac{\pi}{2}\cos 0=\dfrac{\pi}{2}$ это подтверждает.

Ответ

2
Другие задания по теме «Производные в Физике» (8)