Производные в… — Задание ЕГЭ по физике №00005559

Скорость — производная координаты по времени. Сумму дифференцируем по слагаемым: $$\upsilon(t)=(4t^2+8t)'=(4t^2)'+(8t)'$$

Первое слагаемое: $(4t^2)'=4\cdot 2t=8t$. Второе: $(8t)'=8$. Получаем формулу скорости: $$\upsilon(t)=8t+8$$

Подставляем $t=4$ с: $$\upsilon(4)=8\cdot 4+8=32+8=40\ \text{м/с}$$

Проверим себя через физику. $x=8t+4t^2$ — это закон равноускоренного движения $x=\upsilon_0t+\dfrac{at^2}{2}$ с начальной скоростью $\upsilon_0=8$ м/с и ускорением $a=8\ \text{м/с}^2$ (потому что $\dfrac{a}{2}=4$). Тогда $\upsilon=\upsilon_0+at=8+8\cdot 4=40$ м/с — то же самое.