Производные в… — Задание ЕГЭ по физике №00005558

Скорость — это быстрота изменения координаты, то есть производная координаты по времени: $v(t)=x'(t)$. План такой: сначала найти формулу скорости, потом подставить в неё время.

Берём производную по правилу для степени $(t^n)'=n\cdot t^{\,n-1}$. Число 3 перед $t^3$ — постоянный множитель, он просто остаётся: $$v(t)=(3t^3)'=3\cdot 3t^{2}=9t^2$$

Теперь подставляем момент времени $t=3$ с: $$v(3)=9\cdot 3^2=9\cdot 9=81\ \text{м/с}$$

Обрати внимание: подставлять время нужно именно в формулу скорости, а не координаты. Здесь $x(3)=3\cdot 27=81$ м — число то же, но это случайное совпадение: в другой момент, например при $t=2$ с, координата равна 24 м, а скорость — 36 м/с.