Задание 12 ОГЭ по математике №00043989

Формула суммы углов многоугольника — по сути рассказ про треугольники. Поймём, откуда она берётся, и найдём $n$.

Из одной вершины многоугольника можно провести диагонали и разрезать его на треугольники. Их получается $n-2$, а сумма углов каждого треугольника равна $\pi$, то есть $180^\circ$. Отсюда и формула $\Sigma=(n-2)\pi$.

Подставим $\Sigma=6\pi$:

$$6\pi=(n-2)\pi.$$

Разделим обе части на $\pi$ — это ненулевое число, равенство сохранится: $6=n-2$. Значит, треугольников $6$.

Но спрашивают число углов, а не треугольников. Углов на два больше: $n=6+2=8$.

Проверим себя: у восьмиугольника из одной вершины выходят диагонали ко всем вершинам, кроме самой себя и двух соседних, — их $8-3=5$, и они режут его на $6$ треугольников. $6\cdot 180^\circ=1080^\circ$, а $6\pi$ — это тоже $1080^\circ$. Сходится.