Углы — Задание 23 ОГЭ по математике №00009781
Углы
№2. Задание 23
ID: 00009781
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно $14$, а одна из диагоналей ромба равна $56$. Найдите углы ромба.
Источник: ФИПИ
Решение
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Половина данной диагонали равна $\dfrac{56}{2}=28$.
Расстояние от центра до стороны ($14$) — это высота прямоугольного треугольника, катетами которого служат половины диагоналей $p=28$ и $q$, опущенная на гипотенузу-сторону.
Высота на гипотенузу равна $\dfrac{p\,q}{\sqrt{p^2+q^2}}$, поэтому $14=\dfrac{28\,q}{\sqrt{784+q^2}}$; решая, находим $q=16{,}1658$.
Тангенс половины угла ромба у вершины при диагонали $p$ равен $\dfrac{q}{p}=\dfrac{16{,}1658}{28}=\dfrac{1}{\sqrt3}$, значит этот угол равен $60^\circ$, а соседний $120^\circ$.
Углы ромба равны $60^\circ$ и $120^\circ$.
Ответ
$60^\circ$; $120^\circ$; $60^\circ$; $120^\circ$.