Углы — Задание 23 ОГЭ по математике №00006364
Углы
№2. Задание 23
ID: 00006364
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.
Источник: ФИПИ
Решение
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Половина данной диагонали равна $\dfrac{76}{2}=38$.
Расстояние от центра до стороны ($19$) — это высота прямоугольного треугольника, катетами которого служат половины диагоналей $p=38$ и $q$, опущенная на гипотенузу-сторону.
Высота на гипотенузу равна $\dfrac{p\,q}{\sqrt{p^2+q^2}}$, поэтому $19=\dfrac{38\,q}{\sqrt{1444+q^2}}$; решая, находим $q=21{,}9393$.
Тангенс половины угла ромба у вершины при диагонали $p$ равен $\dfrac{q}{p}=\dfrac{21{,}9393}{38}=\dfrac{1}{\sqrt3}$, значит этот угол равен $60^\circ$, а соседний $120^\circ$.
Углы ромба равны $60^\circ$ и $120^\circ$.
Ответ
$60^\circ$ и $120^\circ$