Ло­га­риф­ми… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043669

Пункт а. Под логарифмами $x^4$ и $x^8$ — они положительны при любом $x\ne 0$. Так что $x\ne 0$, и $x$ может быть отрицательным.

Оба основания — степени пятёрки: $25=5^2$, $0{,}2=5^{-1}$. Обозначим $M=\log_5|x|$. Степень из-под логарифма выносим с модулем: $\log_5(x^4)=4M$, $\log_5(x^8)=8M$.

$\log_{25}(x^4)=\dfrac12\cdot 4M=2M$, его квадрат $4M^2$.

$\log_{0{,}2}(x^8)=-8M$.

$$4M^2-8M+3=0.$$

$D=64-48=16$, $M=\dfrac{8\pm 4}{8}$: $M=\dfrac32$ или $M=\dfrac12$.

$|x|=5^{3/2}=5\sqrt5$ или $|x|=5^{1/2}=\sqrt5$. Уравнение зависит только от $|x|$, поэтому корни идут парами: $x=\pm 5\sqrt5$, $x=\pm\sqrt5$.

Пункт б. Отрезок $[-2{,}3;11{,}3]$.

$\sqrt5$ и $2{,}3$: $2{,}3^2=5{,}29\gt 5$, значит, $\sqrt5\lt 2{,}3$, и оба корня $\pm\sqrt5$ на отрезке.

$5\sqrt5=\sqrt{125}$, а $11{,}3^2=127{,}69\gt 125$, значит, $5\sqrt5\lt 11{,}3$ — подходит. $-5\sqrt5\approx -11{,}2$ — левее $-2{,}3$, не подходит.

Проверим себя на $x=\sqrt5$: $x^4=25$, $\log_{25}25=1$, квадрат $1$; $x^8=625=5^4$, $\log_{0{,}2}625=-4$; $1-4+3=0$ — верно.