Ло­га­риф­ми… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043668

Пункт а. Область допустимых значений: под логарифмами $x^2$ и $x^4$, они положительны при любом $x\ne 0$. Итак, $x\ne 0$, а сам $x$ может быть и отрицательным.

Поэтому степень выносим аккуратно, с модулем: $\log_2(x^2)=2\log_2|x|$. Обозначим $L=\log_2|x|$.

$\log_{0{,}5}(x^2)=-\log_2(x^2)=-2L$ (основание $0{,}5=2^{-1}$ меняет знак). Квадрат: $(-2L)^2=4L^2$.

$\log_8(x^4)=\dfrac13\log_2(x^4)=\dfrac13\cdot 4L=\dfrac43L$, а $4\log_8(x^4)=\dfrac{16}{3}L$.

$$4L^2-\dfrac{16}{3}L=1\quad\Leftrightarrow\quad 12L^2-16L-3=0.$$

$D=16^2+4\cdot 12\cdot 3=256+144=400=20^2$, $L=\dfrac{16\pm 20}{24}$: $L=\dfrac32$ или $L=-\dfrac16$.

$\log_2|x|=\dfrac32$: $|x|=2^{3/2}=2\sqrt2$, $x=\pm 2\sqrt2$.

$\log_2|x|=-\dfrac16$: $|x|=2^{-1/6}=\sqrt[6]{\dfrac12}=\sqrt[6]{0{,}5}$, $x=\pm\sqrt[6]{0{,}5}$.

Пункт б. Отрезок $[-0{,}9;2{,}9]$.

$2\sqrt2=\sqrt8$, а $2{,}9^2=8{,}41\gt 8$, значит, $2\sqrt2\lt 2{,}9$ — подходит. $-2\sqrt2\lt -2$ — левее отрезка.

$\sqrt[6]{0{,}5}$ сравним с $0{,}9$, возведя оба положительных числа в шестую степень: $0{,}9^2=0{,}81$, $0{,}9^3=0{,}729$, $0{,}9^6=0{,}729^2=0{,}531441\gt 0{,}5$. Значит, $\sqrt[6]{0{,}5}\lt 0{,}9$, и оба корня $\pm\sqrt[6]{0{,}5}$ лежат на отрезке.

Проверим себя на $x=2\sqrt2$: $x^2=8$, $\log_{0{,}5}8=-3$, квадрат $9$; $x^4=64$, $\log_8 64=2$, $4\cdot 2=8$; $9-8=1$ — верно.