Ло­га­риф­ми… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043659

Пункт а. Область допустимых значений: под логарифмом должно быть положительное число, $x+2\gt 0$, то есть $x\gt -2$.

Логарифмы с разными основаниями $4$, $16$, $0{,}5$ — все основания являются степенями двойки. Переведём всё к основанию $2$ по правилу $\log_{2^k}a=\dfrac1k\log_2 a$. Обозначим $y=\log_2(x+2)$:

$$\log_4(x+2)=\dfrac{y}{2},\qquad \log_{16}(x+2)=\dfrac{y}{4},\qquad \log_{0{,}5}(x+2)=-y.$$

Запись $\log_4^3(x+2)$ означает куб логарифма: $\left(\dfrac y2\right)^3=\dfrac{y^3}{8}$. Аналогично $\log_{16}^2(x+2)=\dfrac{y^2}{16}$. Подставим:

$$4\cdot\dfrac{y^3}{8}+16\cdot\dfrac{y^2}{16}+0{,}5\cdot(-y)=1\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{y^3}{2}+y^2-\dfrac{y}{2}-1=0.$$

Умножим на $2$: $y^3+2y^2-y-2=0$. Разложим на множители: $y^2(y+2)-(y+2)=(y+2)(y^2-1)=(y+2)(y-1)(y+1)$.

Значит, $y=-2$, $y=1$ или $y=-1$. Возвращаемся к $x$: $x+2=2^y$.

$y=-2$: $x+2=\dfrac14$, $x=-1{,}75$. $y=1$: $x+2=2$, $x=0$. $y=-1$: $x+2=\dfrac12$, $x=-1{,}5$.

Все три больше $-2$, ОДЗ выполнена.

Пункт б. Оценим концы отрезка $[\log_{0{,}4}4;\ \log_4 0{,}4]$.

Левый конец: $\log_{0{,}4}4=-\log_{2{,}5}4$. Так как $2{,}5^{1{,}5}=2{,}5\sqrt{2{,}5}\approx 3{,}95\lt 4$, то $\log_{2{,}5}4\gt 1{,}5$ и левый конец меньше $-1{,}5$. А $2{,}5^2=6{,}25\gt 4$, поэтому левый конец больше $-2$.

Правый конец: $\log_4 0{,}4$. Так как $0{,}25\lt 0{,}4\lt 1$, то $-1\lt\log_4 0{,}4\lt 0$; точнее, $4^{-0{,}75}=\dfrac{1}{2\sqrt2}\approx 0{,}354\lt 0{,}4$, значит, правый конец больше $-0{,}75$.

Итак, отрезок начинается чуть левее $-1{,}5$ и кончается правее $-0{,}75$, но левее $0$.

$-1{,}75$: левее $-1{,}5$; сравним точнее с концом. $-1{,}75\ge\log_{0{,}4}4$ означало бы $\log_{2{,}5}4\ge 1{,}75$, то есть $4\ge 2{,}5^{1{,}75}$. Но $2{,}5^{1{,}75}\gt 2{,}5^{1{,}5}\cdot 2{,}5^{0{,}25}\approx 3{,}95\cdot 1{,}26\approx 4{,}97\gt 4$. Значит, $-1{,}75$ левее отрезка, не подходит.

$-1{,}5$: лежит на отрезке (левый конец меньше $-1{,}5$, правый больше). $0$: правее правого конца, не подходит.

Проверим себя на $x=-1{,}5$: $x+2=0{,}5$, $\log_4 0{,}5=-\dfrac12$, $\log_{16}0{,}5=-\dfrac14$, $\log_{0{,}5}0{,}5=1$. Слева $4\cdot\left(-\dfrac18\right)+16\cdot\dfrac1{16}+0{,}5\cdot 1=-0{,}5+1+0{,}5=1$ — верно.