Ло­га­риф­ми… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043660

Пункт а. Сначала область допустимых значений. В уравнении есть $\log_3\dfrac{1}{x-3}$, а он существует, только если $\dfrac{1}{x-3}\gt 0$, то есть $x\gt 3$. При этом все остальные логарифмы тоже определены.

При $x\gt 3$ обозначим $L=\log_3(x-3)$ и выразим через него каждое слагаемое.

$\log_3(x-3)^2=2\log_3(x-3)=2L$ (показатель выносим, так как $x-3\gt 0$). Запись $\log_3^3(x-3)^2$ — это куб: $(2L)^3=8L^3$.

$\log_3\dfrac{1}{x-3}=-L$, поэтому $8\log_3\dfrac{1}{x-3}=-8L$.

$\log_3\dfrac{1}{(x-3)^4}=-4L$, а квадрат: $(-4L)^2=16L^2$.

Уравнение:

$$8L^3-8L+16=16L^2\quad\Leftrightarrow\quad 8L^3-16L^2-8L+16=0\quad\Leftrightarrow\quad L^3-2L^2-L+2=0.$$

Разложим: $L^2(L-2)-(L-2)=(L-2)(L^2-1)=(L-2)(L-1)(L+1)=0$. Значит, $L=2$, $L=1$ или $L=-1$.

Возвращаемся: $x-3=3^L$, то есть $x=3+3^L$.

$L=2$: $x=3+9=12$. $L=1$: $x=3+3=6$. $L=-1$: $x=3+\dfrac13=\dfrac{10}{3}$. Все больше $3$, ОДЗ выполнена.

Пункт б. Оценим концы отрезка.

Левый: $\log_{0{,}6}\dfrac16=\log_{\frac53}6$. Так как $\left(\dfrac53\right)^3=\dfrac{125}{27}\approx 4{,}63\lt 6$ и $\left(\dfrac53\right)^4=\dfrac{625}{81}\approx 7{,}72\gt 6$, левый конец лежит между $3$ и $4$.

Правый: $\log_{0{,}8}\dfrac18=\log_{1{,}25}8$. Так как $1{,}25^9\approx 7{,}45\lt 8$ и $1{,}25^{10}\approx 9{,}31\gt 8$, правый конец лежит между $9$ и $10$.

Корень $\dfrac{10}{3}\approx 3{,}33$: нужно сравнить с левым концом точнее. $\dfrac{10}{3}\ge\log_{\frac53}6$ означало бы $\left(\dfrac53\right)^{10/3}\ge 6$. Но $\left(\dfrac53\right)^{10/3}=\left(\dfrac53\right)^3\cdot\left(\dfrac53\right)^{1/3}\approx 4{,}63\cdot 1{,}19\approx 5{,}5\lt 6$. Значит, $\dfrac{10}{3}$ левее отрезка.

Корень $6$: между $4$ и $9$ — точно на отрезке. Корень $12$: больше $10$ — вне отрезка.

Проверим себя на $x=6$: $x-3=3$, $L=1$. Слева $\log_3^3 9+8\log_3\dfrac13+16=8-8+16=16$, справа $\log_3^2\dfrac1{81}=(-4)^2=16$ — верно.